Deixe as integrais em coordenadas polares a fim de calcular o valor.
Para a região R entre a circunferência de raio 1 e a circunferência de raio 2 , ambas centradas na origem
\iint_{R} \frac{1}{x^{2}+y^{2}} d A

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\iint_{R}\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\,dA
na região R entre as circunferências de raios 1 e 2 centradas na origem. O conteúdo é mudança para coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e usar o Jacobiano para reescrever dA.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x^{2}+y^{2}=r^{2},
o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta,
e portanto o integrando fica
\frac{1}{x^{2}+y^{2}} = \frac{1}{r^{2}}.
Multiplicando pelo Jacobiano resulta em \tfrac{1}{r^{2}}\cdot r = \tfrac{1}{r}.

Passo 3

Assim a integral dupla em coordenadas polares é
\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=1}^{2}\frac{1}{r}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Calcule primeiro a integral em r:
\int_{1}^{2}\frac{1}{r}\,dr = \bigl[\ln(r)\bigr]_{1}^{2} = \ln(2).

Passo 5

Agora integre em \theta:
\int_{0}^{2\pi}\ln(2)\,d\theta = 2\pi\,\ln(2).

Resposta

2\pi \,\ln(2)

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