Inverta a ordem de integração para conseguir calcular as integrais abaixo.
Para esta, consultar a lista de integrais.
Para esta, consultar a lista de integrais.
Passo 1
O enunciado pede para trocar a ordem de integração em
e depois calcular a integral resultante. O assunto é cálculo de integrais duplas e uso de fórmulas conhecidas de integrais impróprias.
Passo 2
Vamos descrever a região de integração no plano
. As condições originais são
Isso define a região triangular
Para inverter a ordem, fixamos primeiro
. Na região
,
vai de
até
, e para cada
o
varia de
até
. Assim a integral vira
Passo 3
Dentro dessa nova ordem, analisamos a integral interna
Usamos a fórmula padrão (consultada na tabela de integrais):
Aqui
é constante em relação a
. Logo,
Passo 4
Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, obtemos