Inverta a ordem de integração para conseguir calcular as integrais abaixo.
Para esta, consultar a lista de integrais.
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} \frac{1}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para trocar a ordem de integração em
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\frac{1}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}\,dy\,dx
e depois calcular a integral resultante. O assunto é cálculo de integrais duplas e uso de fórmulas conhecidas de integrais impróprias.

Passo 2

Vamos descrever a região de integração no plano xy. As condições originais são
0 \le x \le 1 \quad\text{e}\quad x \le y \le 1.
Isso define a região triangular
R = \{(x,y)\mid 0\le x\le y\le 1\}.
Para inverter a ordem, fixamos primeiro y. Na região R, y vai de 0 até 1, e para cada y o x varia de 0 até y. Assim a integral vira
\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y}\frac{1}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}\,dx\,dy.

Passo 3

Dentro dessa nova ordem, analisamos a integral interna
\int_{0}^{y}\frac{1}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}}\,dx.
Usamos a fórmula padrão (consultada na tabela de integrais):
\int\frac{dx}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} = \arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr) + C.
Aqui a=y é constante em relação a x. Logo,
\int_{0}^{y}\frac{dx}{\sqrt{y^{2}-x^{2}}} = \Bigl[\arcsin\!\bigl(\tfrac{x}{y}\bigr)\Bigr]_{0}^{y} = \arcsin(1) - \arcsin(0) = \frac{\pi}{2}.

Passo 4

Substituindo o resultado da integral interna na integral externa, obtemos
\int_{0}^{1}\frac{\pi}{2}\,dy = \frac{\pi}{2}\,\int_{0}^{1}dy = \frac{\pi}{2}\cdot 1 = \frac{\pi}{2}.

Resposta

\frac{\pi}{2}

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