Encontre a área das superfícies indicadas pela fórmula com integral dupla para superfícies de funções:
S=\iint_{R} \sqrt{\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}+1} d A
Para isso, antes, isole devidamente a variável z.
A área do cone z^{2}=12 x^{2}+12 y^{2} na parte acima da região do 1^{0} quadrante delimitada pela reta y=x e pela curva y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede a área da parte superior do cone dado por
z^{2}=12x^{2}+12y^{2}
no primeiro quadrante limitada pelas curvas y=x^{2} e y=x.
O conteúdo é uso da fórmula
S=\iint_{R}\sqrt{\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigr)^{2}+1}\,dA.
Para isso vamos primeiro escrever z como função de (x,y).

Passo 2

Da equação do cone temos
z = \sqrt{12(x^{2}+y^{2})} = 2\sqrt{3}\,\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de z:
\frac{\partial z}{\partial x} =2\sqrt{3}\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \quad\text{e}\quad \frac{\partial z}{\partial y} =2\sqrt{3}\,\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Então
\Bigl(\frac{\partial z}{\partial x}\Bigr)^{2} +\Bigl(\frac{\partial z}{\partial y}\Bigr)^{2} =12\,\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =12,
e o integrando fica
\sqrt{12+1}=\sqrt{13}.

Passo 4

Como a raiz é constante,
S=\iint_{R}\sqrt{13}\,dA =\sqrt{13}\,\iint_{R}1\,dA =\sqrt{13}\,\bigl(\text{área de }R\bigr).á

Passo 5

A projeção R no plano xy é
0\le x\le1, \quad x^{2}\le y\le x,
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\iint_{R}1\,dA =\int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x^{2}}^{y=x}1\,dy\,dx =\int_{0}^{1}(x - x^{2})\,dx =\Bigl[\tfrac{x^{2}}{2}-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} =\tfrac{1}{6}.

Resposta

S = \frac{\sqrt{13}}{6}.

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