Encontre, se houver, os pontos críticos das funções abaixo.
f(x, y, z)=x^{7}+y^{3}+x+y

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y,z)=x^{7}+y^{3}+x+y
Isto faz parte do conteúdo de cálculo em várias variáveis: um ponto crítico ocorre onde o gradiente de f é o vetor zero.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =7x^{6}+1, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} =3y^{2}+1, \qquad \frac{\partial f}{\partial z} =0.

Passo 3

Para ponto crítico, igualamos cada derivada parcial a zero:
7x^{6}+1=0, \quad 3y^{2}+1=0, \quad 0=0.
Da primeira equação vêm
x^{6}=-\tfrac{1}{7},
e da segunda
y^{2}=-\tfrac{1}{3}.
Nenhuma das duas tem solução real, pois não existe x\in\mathbb{R} com x^{6}<0 nem y\in\mathbb{R} com y^{2}<0. A equação em z é sempre satisfeita, mas sem x,y reais compatíveis não há ponto crítico real.

Resposta

Não existem pontos críticos reais para f(x,y,z)=x^{7}+y^{3}+x+y.

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