Suponha que
é uma sequência de variáveis independentes em (
). Mostre que as duas famílias
e
são independentes.
Passo 1
A questão pede para mostrar que, partindo de uma sequência de variáveis aleatórias independentes
, as duas subfamílias formadas pelos índices ímpares
e pelos índices pares
são independentes. O conteúdo principal é o conceito de independência de famílias de variáveis (ou das σ-álgebras que elas geram) e vamos precisar usar a definição via probabilidades de eventos gerados por variáveis distintas.
Passo 2
Independência de duas famílias de variáveis significa que, para todo evento mensurável em cada família, a probabilidade do encontro desses eventos se fatora. Mais formalmente, se
e
são as σ-álgebras geradas por duas subfamílias, então elas são independentes se para todo
e
Passo 3
Como a sequência inteira
é independente, qualquer escolha finita de variáveis distintas satisfaz
Passo 4
Este fato vale para toda escolha finita de índices ímpares
e de índices pares
, mostrando que os geradores π-dos sistemas (os eventos
) são independentes entre as duas famílias.
Passo 5
Como os π-sistemas que geram as σ-álgebras de
e de
são independentes, concluímos que as σ-álgebras e, portanto, as próprias famílias de variáveis são independentes.
Resposta
As famílias
e
são independentes.