Suponha que X1, X2, ldots é uma sequência de variáveis independentes em ( Omega, F, P ). Mostre que as duas famílias X1, X3, X5, ldots e X2, X4, X6, ldots são independentes.

Passo 1

A questão pede para mostrar que, partindo de uma sequência de variáveis aleatórias independentes X1,X2,dots, as duas subfamílias formadas pelos índices ímpares X1,X3,X5,dots e pelos índices pares X2,X4,X6,dots são independentes. O conteúdo principal é o conceito de independência de famílias de variáveis (ou das σ-álgebras que elas geram) e vamos precisar usar a definição via probabilidades de eventos gerados por variáveis distintas.

Passo 2

Independência de duas famílias de variáveis significa que, para todo evento mensurável em cada família, a probabilidade do encontro desses eventos se fatora. Mais formalmente, se G=sigma(Xi1,dots,Xin) e H=sigma(Xj1,dots,Xjm) são as σ-álgebras geradas por duas subfamílias, então elas são independentes se para todo Akin B( R) e Bellin B( R)
Pl(capk=1^nXikin Akcapcapell=1^mXjellin Bellr)=Pl(capk=1^nXikin Akr),Pl(capell=1^mXjellin Bellr)

Passo 3

Como a sequência inteira X1,X2,dots é independente, qualquer escolha finita de variáveis distintas satisfaz
Pl(Xi1in A1,dots,Xinin An,Xj1in B1,dots,Xjmin Bmr) = prodk=1^n P(Xikin Ak);times;prodell=1^m P(Xjellin Bell)

Passo 4

Este fato vale para toda escolha finita de índices ímpares i1,dots,in e de índices pares j1,dots,jm, mostrando que os geradores π-dos sistemas (os eventos Xiin A) são independentes entre as duas famílias.

Passo 5

Como os π-sistemas que geram as σ-álgebras de X1,X3,X5,dots e de X2,X4,X6,dots são independentes, concluímos que as σ-álgebras e, portanto, as próprias famílias de variáveis são independentes.

Resposta

As famílias X1,X3,X5,dots e X2,X4,X6,dots são independentes.

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