Dê exemplos de variáveis aleatórias Xe Y definas em [0,1] com a medida de Lebesque tal que P(X>Y)>1 / 2, mas E(X).

Passo 1

O problema pede variáveis aleatórias X e Y definidas no espaço de probabilidade ([0,1], medida de Lebesgue) tais que P(X>Y)>1/2, mas E(X)<E(Y). Vamos construir X e Y constantes em duas regiões do intervalo.

Passo 2

Escolhemos p∈(1/2,1) e particionamos [0,1] em dois conjuntos de medidas p e 1–p:
B=[0,p], A=(p,1]
Em B definimos X=a, Y=b com a>b (então X>Y em B). Em A definimos X=c, Y=d com c<d (então X<Y em A).

Passo 3

Nesse modelo temos
P(X>Y)=lambda(B)=p,
E(X)=p,a+(1-p),c, E(Y)=p,b+(1-p),d
Queremos p>1/2 e ainda
p,a+(1-p),c < p,b+(1-p),d,
que equivale a
p(a-b)<(1-p)(d-c)

Passo 4

Basta escolher valores que satisfaçam p>1/2 e p(a-b)<(1-p)(d-c). Por exemplo, fixamos
p=0.6, a=0.75, b=0.25, c=0, d=1
Então definimos:
X(omega)=0.75,&omegain[0,0.6],0,&omegain(0.6,1], Y(omega)=0.25,&omegain[0,0.6],1,&omegain(0.6,1]

Passo 5

Calculamos:
P(X>Y)=0.6>1/2, E(X)=0.6cdot0.75+0.4cdot0=0.45, E(Y)=0.6cdot0.25+0.4cdot1=0.55,
logo P(X>Y)>1/2, mas E(X)=0.45<0.55=E(Y). Esses X e Y satisfazem o enunciado.

Resposta

Definindo em ([0,1], medida de Lebesgue)
X(omega)=0.75,&omegain[0,0.6],0,&omegain(0.6,1], Y(omega)=0.25,&omegain[0,0.6],1,&omegain(0.6,1],
tem-se P(X>Y)=0.6>1/2 e E(X)=0.45<0.55=E(Y).

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