Dê exemplos de variáveis aleatórias Xe Y definas em
com a medida de Lebesque tal que
, mas
.
Passo 1
O problema pede variáveis aleatórias X e Y definidas no espaço de probabilidade ([0,1], medida de Lebesgue) tais que P(X>Y)>1/2, mas E(X)<E(Y). Vamos construir X e Y constantes em duas regiões do intervalo.
Passo 2
Escolhemos p∈(1/2,1) e particionamos [0,1] em dois conjuntos de medidas p e 1–p:
Em B definimos X=a, Y=b com a>b (então X>Y em B). Em A definimos X=c, Y=d com c<d (então X<Y em A).
Passo 3
Nesse modelo temos
Queremos p>1/2 e ainda
que equivale a
Passo 4
Basta escolher valores que satisfaçam p>1/2 e p(a-b)<(1-p)(d-c). Por exemplo, fixamos
Então definimos:
Passo 5
Calculamos:
logo P(X>Y)>1/2, mas E(X)=0.45<0.55=E(Y). Esses X e Y satisfazem o enunciado.
Resposta
Definindo em ([0,1], medida de Lebesgue)
tem-se P(X>Y)=0.6>1/2 e E(X)=0.45<0.55=E(Y).