Deixe
serem variáveis aleatórias reais independentes e deixe
para
. Mostre que para
a desigualdade de Etemadi é válida:
Dica: Considere os conjuntos
e observe que
e observe que
Passo 1
Vamos resumir o que temos: temos variáveis aleatórias independentes
e as somas parciais
. Queremos mostrar que para todo
vale
Ou seja, controlar a chance do “máximo absoluto” ultrapassar
Passo 2
Para simplificar a notação, definimos
Se ocorrer
Por definição, para
Passo 3
Agora note a decomposição da soma total
. Pela desigualdade triangular:
Se nenhum dos três eventos abaixo ocorresse, teríamos simultaneamente:
1)
o que daria
contradição com
Passo 4
(i)
,
(ii) ,
(iii) .
(ii)
(iii)
Passo 5
Como
varia de
a
, cada um desses três eventos está contido em algum dos eventos “
” para
. Portanto
Tomando probabilidade e usando união de no máximo três eventos, obtemos
Passo 6
Cada uma dessas probabilidades é de um módulo de soma parcial (pois
é também soma de independentes). Logo
Finalmente, resubstituindo
que é justamente a desigualdade de Etemadi.