Deixe X1, ldots Xn serem variáveis aleatórias reais independentes e deixe Sk=X1+cdots+Xk para k=1, ldots, n. Mostre que para t>0 a desigualdade de Etemadi é válida:
P[max k|Sk| >= t] <= 3 max k P[|Sk| >= t / 3]
Dica: Considere os conjuntos
max 1 <= j <= n|Sj| >= 3 r=cupj=1^n Aj
e observe que

Passo 1

Vamos resumir o que temos: temos variáveis aleatórias independentes X1,dots,Xn e as somas parciais Sk=X1+cdots+Xk. Queremos mostrar que para todo t>0 vale
Pl(max1<= k<= n|Sk|>= tr)<=3max1<= k<= n Pl(|Sk|>= t/3r)
Ou seja, controlar a chance do “máximo absoluto” ultrapassar t em termos da maior das caudas de cada soma parcial.

Passo 2

Para simplificar a notação, definimos
r=tfrac t3
Se ocorrer max1<= k<= n|Sk|>=3r, existe um primeiro índice
m=min1<= k<= n:,|Sk|>=3r
Por definição, para k temos |Sk|<3r e |Sm|>=3r.

Passo 3

Agora note a decomposição da soma total Sn=Sm+(Sn-Sm). Pela desigualdade triangular:
|Sm|<=|Sn|+|Sn-Sm|
Se nenhum dos três eventos abaixo ocorresse, teríamos simultaneamente:
1) |Sm|, 2) |Sn| e 3) |Sn-Sm|,
o que daria
|Sm|<=|Sn|+|Sn-Sm|
contradição com |Sm|>=3r. Logo, em todo cenário onde max|Sk|>=3r pelo menos um destes três eventos ocorre:

Passo 4

(i) |Sm|>= r,
(ii) |Sn|>= r,
(iii) |Sn-Sm|>= r.

Passo 5

Como m varia de 1 a n, cada um desses três eventos está contido em algum dos eventos “ |Sj|>= r” para j=1,dots,n. Portanto
maxk|Sk|>=3rsubseteql|Sj|>= r para algum jrcup|Sn|>= rcup|Sn-Sm|>= r
Tomando probabilidade e usando união de no máximo três eventos, obtemos
P(maxk|Sk|>=3r)<= P(|Sm|>= r)+ P(|Sn|>= r)+ P(|Sn-Sm|>= r)

Passo 6

Cada uma dessas probabilidades é de um módulo de soma parcial (pois Sn-Sm é também soma de independentes). Logo
P(maxk|Sk|>=3r)<=3max1<= k<= n P(|Sk|>= r)
Finalmente, resubstituindo r=t/3, concluímos
Pl(maxk|Sk|>= tr)<=3maxk Pl(|Sk|>= t/3r),
que é justamente a desigualdade de Etemadi.

Passo 7

Resposta

Pl[max1<= k<= n|Sk|>= tr]<=3max1<= k<= nPl[|Sk|>= t/3r]

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