Se E, F subset Omega1 times Omega2 e x in Omega1, mostre que
(E cap F)^x=Ex cap Fx,

Passo 1

O enunciado pede para mostrar uma propriedade de seções (ou fatias) de um subconjunto de um produto cartesiano. O conteúdo envolve conjuntos em , Omega1timesOmega2 e a definição de seção fixa por um elemento , xinOmega1.

Passo 2

Definimos a seção de um conjunto EsubsetOmega1timesOmega2 por um ponto xinOmega1 como
Ex=yinOmega2:,(x,y)in E
Analogamente para Fx e para , (Ecap F)^x.

Passo 3

Vamos mostrar primeiro que
(Ecap F)^xsubseteq Excap Fx
Tome yin (Ecap F)^x. Por definição, (x,y)in Ecap F, ou seja, (x,y)in E e (x,y)in F. Daí segue que yin Ex e yin Fx. Logo
yin Excap Fx

Passo 4

Agora mostramos a inclusão inversa
Excap Fxsubseteq (Ecap F)^x
Tome yin Excap Fx. Então yin Ex e yin Fx, o que significa (x,y)in E e (x,y)in F. Logo (x,y)in Ecap F e, por definição, yin (Ecap F)^x.

Passo 5

Como temos as duas inclusões, concluímos que
(Ecap F)^x = Excap Fx

Resposta

(Ecap F)^x = Ex cap Fx.

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