Deixe
ser uma variável aleatória nãonegativa, tal que EX existe.
a) Mostre através de um exemplo que
pode não existir.
b) Considere o truncamento
. Prove que para todo
,
c) Prove a propriedade anterior para
.
a) Mostre através de um exemplo que
b) Considere o truncamento
Passo 1
O enunciado considera uma variável aleatória não negativa X com EX<∞ e pede três coisas: (a) um exemplo em que E(X²)=∞, (b) provar que para todo p>2 vale
, onde
, e © estender essa prova ao caso p=2.
Passo 2
Para (a), escolhemos uma lei de cauda pesada que tenha média finita mas segunda momento infinito. Por exemplo, defina para n≥2
onde C é constante de normalização. Então
(porque
), mas
Passo 3
Para (b), primeiro usamos a representação de cauda para variáveis não negativas: para cada n,
Então
Para p>2 existe constante C tal que
logo,
Para u grande,
, então o integrando se comporta como
, e como p>2 a integral converge. Portanto a soma é finita.
Passo 4
Para ©, repetimos o mesmo raciocínio com p=2. Agora
e assim
Passo 5
Assim, conseguimos (a) exemplo com E(X²)=∞, (b) a soma converge para p>2, e © também converge para p=2.
Resposta
(a) Por exemplo, escolha P(X=n)=C/[n²(ln n)²] em n≥2; então EX<∞ mas E(X²)=∞. (b) Para p>2 usa-se troca de soma por integral e a estimativa
, chegando a uma integral finita. © Para p=2 a estimativa
dá
.