Deixe X ser uma variável aleatória nãonegativa, tal que EX existe.
a) Mostre através de um exemplo que Xn=min (X, n) pode não existir.
b) Considere o truncamento p>2. Prove que para todo sumn=1^infty n^-p E(Xn^2),
p=2
c) Prove a propriedade anterior para .

Passo 1

O enunciado considera uma variável aleatória não negativa X com EX<∞ e pede três coisas: (a) um exemplo em que E(X²)=∞, (b) provar que para todo p>2 vale sumn=1^infty n^-pE(Xn^2), onde Xn=min(X,n), e © estender essa prova ao caso p=2.

Passo 2

Para (a), escolhemos uma lei de cauda pesada que tenha média finita mas segunda momento infinito. Por exemplo, defina para n≥2
P(X=n)=Cn^2(ln n)^2,
onde C é constante de normalização. Então
E(X)=sumn=2^infty ncdotCn^2(ln n)^2=Csumn=2^infty1n(ln n)^2
(porque sum1/[n(ln n)^2]<∞), mas
E(X^2)=sumn=2^infty n^2cdotCn^2(ln n)^2=Csumn=2^infty1(ln n)^2=infty

Passo 3

Para (b), primeiro usamos a representação de cauda para variáveis não negativas: para cada n,
E(Xn^2)=integral0^infty P(Xn^2>t),dt =integral0^n2u,P(X>u),du
Então
sumn=1^infty n^-pE(Xn^2) =2sumn=1^infty n^-pintegral0^n uP(X>u),du =2integral0^infty uP(X>u)sumn:,n>=lceil urceiln^-p,du
Para p>2 existe constante C tal que
sumn>= kn^-p<= integralk-1^infty x^-pdx=(k-1)^1-pp-1
logo,
sumn=1^infty n^-pE(Xn^2) <= 2p-1integral0^infty uP(X>u)(u-1)^1-pdu
Para u grande, P(X>u)<= E(X)/u, então o integrando se comporta como ucdot(E(X)/u)cdot u^1-p=E(X),u^1-p, e como p>2 a integral converge. Portanto a soma é finita.

Passo 4

Para ©, repetimos o mesmo raciocínio com p=2. Agora
sumn>= kn^-2<= integralk-1^infty x^-2dx=1k-1
e assim
sumn=1^infty n^-2E(Xn^2) <= 2integral0^infty uP(X>u)1u,du =2integral0^infty P(X>u),du=2E(X)

Passo 5

Assim, conseguimos (a) exemplo com E(X²)=∞, (b) a soma converge para p>2, e © também converge para p=2.

Resposta

(a) Por exemplo, escolha P(X=n)=C/[n²(ln n)²] em n≥2; então EX<∞ mas E(X²)=∞. (b) Para p>2 usa-se troca de soma por integral e a estimativa sumn>= kn^-p<= (k-1)^1-p/(p-1), chegando a uma integral finita. © Para p=2 a estimativa sumn>= kn^-2<=1/(k-1) sum n^-2E(Xn^2)<=2E(X)<∞.

Exercícios relacionados