Se E, F subset Omega1 times Omega2 e x in Omega1, mostre que
,

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos um conjunto Esubset Omega1timesOmega2 e um ponto fixo xinOmega1. Precisamos mostrar que a seção em x do complemento de E é igual ao complemento da seção de E. O conteúdo envolve as definições de seção de um conjunto no produto e de complemento.

Passo 2

Definições e reescrita das seções: Por definição, para qualquer AsubsetOmega1timesOmega2 e xinOmega1 temos
$$A_x={y\in\Omega_2:,(x,y)\in A}.
Ax=yinOmega2:,(x,y)in A (E^c)_x={y\in\Omega_2:,(x,y)\in E^c}=
{y\in\Omega_2:,(x,y)\notin E}.
(E^c)x=yinOmega2:,(x,y)in E^c= yinOmega2:,(x,y)notin E E_x={y\in\Omega_2:,(x,y)\in E},
Ex=yinOmega2:,(x,y)in E, ã(E_x)^c={y\in\Omega_2:y\notin E_x}=
{y\in\Omega_2:,(x,y)\notin E}.
$$

Passo 3

Conclusão: As duas expressões dão exatamente o mesmo conjunto, pois ambas são yinOmega2:(x,y)notin E. Portanto,
$$(Ec)_x=(E_x)c.
$$

Resposta

(E^c)x=(Ex)^c

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