Prove o Teorema da Aplicação Contínua para xrightarrowp :
Xn xrightarrowp X Rightarrow g(Xn) xrightarrowp g(X)

Passo 1

A questão pede para mostrar que, se Xn converge em probabilidade para X, então para uma função contínua g temos g(Xn) converge em probabilidade para g(X). Vamos precisar da definição de convergência em probabilidade e do fato de que funções contínuas são uniformemente contínuas em intervalos limitados.

Passo 2

Definição de convergência em probabilidade: dizemos que XnxrightarrowpX se, para todo de0, vale
Pl(|Xn - X|>de

Passo 3

Como g é contínua em todo o real, ela é uniformemente contínua em qualquer intervalo fechado e limitado [-k,k]. Logo, dado varepsilon>0 e escolhido um k>0, existe de0 tal que para quaisquer x,y com |x|,|y|<= k valha
|x - y|

Passo 4

Para controlar o evento |g(Xn)-g(X)|>varepsilon, fazemos a decomposição
Pl(|g(Xn)-g(X)|>varepsilonr)<= Pl(|g(Xn)-g(X)|>varepsilon,;|Xn|<= k,;|X|<= kr)+P(|Xn|>k)+P(|X|>k)

Passo 5

No primeiro termo, como em |Xn|,|X|<= k temos a uniformidade, ele fica
Pl(|g(Xn)-g(X)|>varepsilon,|Xn|<= k,|X|<= kr)<= Pl(|Xn-X|>de
que tende a zero quando ntoinfty.

Passo 6

Para os outros dois termos, note que
P(|Xn|>k)<= P(|Xn-X|>k/2)+P(|X|>k/2)
e P(|Xn-X|>k/2)to0 e podemos escolher k grande para fazer P(|X|>k/2) e P(|X|>k) arbitrariamente pequenos. Assim, dado varepsilon>0, escolhemos primeiro k para que
P(|X|>k)+P(|X|>k/2) e depois n grande para ter
P(|Xn-X|>de.

Passo 7

Juntando as partes, obtemos para todo varepsilon>0
limsupntoinftyPl(|g(Xn)-g(X)|>varepsilonr)<= varepsilon2+0
o que prova que g(Xn)xrightarrowpg(X).

Resposta

g(X_n) converge em probabilidade para g(X)

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