A questão pede para mostrar que, se converge em probabilidade para , então para uma função contínua temos converge em probabilidade para . Vamos precisar da definição de convergência em probabilidade e do fato de que funções contínuas são uniformemente contínuas em intervalos limitados.
Passo 2
Definição de convergência em probabilidade: dizemos que se, para todo , vale
Passo 3
Como g é contínua em todo o real, ela é uniformemente contínua em qualquer intervalo fechado e limitado [-k,k]. Logo, dado varepsilon>0 e escolhido um k>0, existe de0 tal que para quaisquer x,y com |x|,|y|<= k valha
|x - y|
Passo 4
Para controlar o evento |g(Xn)-g(X)|>varepsilon, fazemos a decomposição
e P(|Xn-X|>k/2)to0 e podemos escolher k grande para fazer P(|X|>k/2) e P(|X|>k) arbitrariamente pequenos. Assim, dado varepsilon>0, escolhemos primeiro k para que P(|X|>k)+P(|X|>k/2) e depois n grande para ter P(|Xn-X|>de.
Passo 7
Juntando as partes, obtemos para todo varepsilon>0