Quantas são as permutações simples dos números 1,2, ldots, n nas quais o elemento que ocupa a k - ésima posição é maior que k-3, para todo k?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir quantas maneiras diferentes podemos organizar os números de 1 a n em ordem (chamadas de permutações) de tal forma que, em cada posição k, o número que está nessa posição seja maior do que k-3. Para resolver isso, vamos usar conceitos de permutação e restrições em posições específicas.

Passo 2

Vamos analisar a condição dada: para cada posição k, o número nessa posição deve ser maior que k-3. Isso significa que, por exemplo, na posição 3, o número deve ser maior que 0 (já que 3-3=0), o que sempre é verdade porque estamos lidando com números positivos. Mas na posição 4, o número deve ser maior que 1, e assim por diante.

Passo 3

Para facilitar, vamos definir o conjunto de números que podem ocupar cada posição k. A condição x > k-3 determina quais números são elegíveis para cada posição. Por exemplo:
  • Na posição 1: x > -2 (todos os números são válidos)
  • Na posição 2: x > -1 (todos os números são válidos)
  • Na posição 3: x > 0 (todos os números são válidos)
  • Na posição 4: x > 1 (números de 2 a n)
  • E assim por diante, até a posição n.

Passo 4

Observamos que, a partir da posição 4, começamos a ter restrições mais significativas. Para cada posição k >= 4, o número colocado deve ser pelo menos k-2. Isso limita as escolhas para cada posição, reduzindo o número total de permutações possíveis.

Passo 5

Para calcular o número total de permutações que satisfazem todas essas restrições, podemos usar o princípio da multiplicação. Isso significa multiplicar o número de escolhas possíveis para cada posição. Porém, como as escolhas são interdependentes (um número usado em uma posição não pode ser usado em outra), precisamos considerar essas restrições passo a passo.

Passo 6

No geral, a contagem dessas permutações pode ser complexa e pode exigir o uso de técnicas avançadas de combinatória ou programação. Contudo, para um valor específico de n, poderíamos enumerar todas as permutações possíveis e contar aquelas que atendem à condição dada. Para valores grandes de n, métodos mais eficientes seriam necessários.

Resposta

O número de permutações simples dos números 1,2, ldots, n que satisfazem a condição dada depende de n e pode ser calculado considerando as restrições de cada posição conforme explicado. Portanto, a resposta final é uma função de n que leva em conta as limitações impostas em cada posição da permutação.

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