Quantas são as permutações dos números (1, 2, ldots, 10) nas quais o 2 está situado à direita do 1 e à esquerda do 3, embora não necessariamente em lugares consecutivos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos os números de 1 a 10 e queremos descobrir de quantas maneiras podemos organizá-los de forma que o número 2 fique à direita do 1 e à esquerda do 3. Isso significa que, na sequência final, o 1 aparece antes do 2, e o 2 aparece antes do 3, mas eles não precisam estar um do lado do outro. Para resolver isso, vamos usar o conceito de permutações da matemática, que é uma forma de contar as diferentes maneiras de organizar um conjunto de elementos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o número total de permutações possíveis dos números de 1 a 10 é dado por 10! (10 fatorial), que significa 10 times 9 times 8 times ldots times 1. Isso porque temos 10 opções para o primeiro lugar, 9 para o segundo, e assim por diante.

Passo 3

Agora, queremos contar apenas as permutações onde o 1 vem antes do 2 e o 2 vem antes do 3. Para simplificar, pense nos números 1, 2 e 3 como um grupo. Existem 3! maneiras diferentes de ordenar esses três números (ou seja, 3 times 2 times 1 = 6 maneiras). Mas nós estamos interessados apenas em uma dessas 6 maneiras específicas: 1 antes de 2 e 2 antes de 3.

Passo 4

Como apenas uma das 6 possíveis ordens dos números 1, 2 e 3 atende à nossa condição, podemos dividir o número total de permutações pelo número de maneiras de ordenar esses três números. Assim, o número de permutações que satisfazem a condição é:
10!3!

Passo 5

Calculando isso:
10! = 3.628.800
3! = 6
10!3! = 3.628.8006 = 604.800

Resposta

Existem 604.800 permutações dos números de 1 a 10 onde o 2 está à direita do 1 e à esquerda do 3.

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