(Valor \mathbf{= 3 , 0} ) A análise dimensional aplicada ao escoamento em bombas centrífugas permite encontrar os seguintes números adimensionais:
\pi_{1}=\frac{P}{\rho D^{5} \omega^{3}} \quad \pi_{2}=\frac{Q}{D^{3} \omega} \quad \pi_{3}=\frac{\mu}{\rho D^{2} \omega} \quad \pi_{4}=\frac{\Delta p}{\rho D^{2} \omega^{2}},
onde P é a potência, \omega é a velocidade angular, D é o diâmetro do rotor da bomba, \Delta \mathrm{p} é a diferença entre a pressão na entrada e na saída na bomba, \rho é a massa específica do fluido, \mu é a viscosidade dinâmica e Q é a vazão.
a) Quais foram as grandezas utilizadas na base (variáveis repetidas) no processo de análise dimensional?
b) Demonstre como foram encontrados os termos adimensionais \pi_{1} e \pi_{2}.
c) Uma bomba centrífuga modelo, com rotor de 20 cm de diâmetro, foi testada em laboratório, com água, rodando a uma velocidade de 1000 rpm . Neste modelo se mediu \Delta \mathrm{p}=50 \mathrm{kPa}, para uma vazão de 30 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Quais os valores correspondentes de \Delta \mathrm{p} e vazão, para uma bomba geometricamente semelhante, cujo rotor tem diâmetro d^{*}, girando com uma velocidade \omega^{*} ? Respostas em kPa e \mathrm{m}^{3} / \mathrm{s}, respectivamente.
Considere: d^{*}=\left(25+u ́ l t i m o\right. número do seu cartão UFRGS) cm e \omega^{*}=(1700+2 últimos números do seu cartão UFRGS) rpm.

Passo 1

O enunciado explora análise dimensional e semelhança de modelos em bombas centrífugas. Foram obtidos quatro números adimensionais
\pi_{1}=\frac{P}{\rho D^{5}\omega^{3}},\quad \pi_{2}=\frac{Q}{D^{3}\omega},\quad \pi_{3}=\frac{\mu}{\rho D^{2}\omega},\quad \pi_{4}=\frac{\Delta p}{\rho D^{2}\omega^{2}}
com P potência, \omega velocidade angular, D diâmetro, \Delta p salto de pressão, \rho densidade, \mu viscosidade e Q vazão.
Pergunta-se:
a) quais grandezas formam a base repetida?
b) demonstre a forma de \pi_{1} e \pi_{2}.
c) usando dados de um modelo e de um protótipo (com D^* e \omega^* dependentes do cartão), obter \Delta p^* e Q^*.

Passo 2

Para aplicar o método de Buckingham escolhemos três variáveis independentes (repetidas) que capturem as dimensões fundamentais M, L e T. Tomamos
\rho (dimensão M\,L^{-3}),
D (dimensão L) e
\omega (dimensão T^{-1}).
Essas três permitem formar combinações com as demais grandezas.

Passo 3

Demonstração de \pi_{1}: buscamos constantes a,b,c,d tais que
\pi_{1} = P^{\,a}\,\rho^{\,b}\,D^{\,c}\,\omega^{\,d}
seja adimensional. As dimensões são
\,[P]=M\,L^{2}\,T^{-3},\;[\rho]=M\,L^{-3},\;[D]=L,\;[\omega]=T^{-1}.
Portanto
[M]:\;a + b = 0,\quad [L]:\;2a -3b + c = 0,\quad [T]:\;-3a - d = 0.
Resolvendo: de a+b=0 vem b=-a; de -3a-d=0 vem d=-3a; e de 2a -3(-a)+c=0 vem 2a+3a+c=0\implies c=-5a. Tomando a=1 resulta
\pi_{1}=\frac{P}{\rho^{1}D^{5}\omega^{3}}.

Passo 4

Demonstração de \pi_{2}: buscamos
\pi_{2} = Q^{\,\alpha}\,\rho^{\,\beta}\,D^{\,\gamma}\,\omega^{\,\delta}
com
[Q]=L^{3}\,T^{-1},\;[\rho]=M\,L^{-3},\;[D]=L,\;[\omega]=T^{-1}.
De M: \beta=0. De T: -\alpha-\delta=0\implies \delta=-\alpha. De L: 3\alpha-3\beta+\gamma=0\implies3\alpha+\gamma=0\implies\gamma=-3\alpha. Tomando \alpha=1 obtém-se
\pi_{2}=\frac{Q}{D^{3}\,\omega}.

Passo 5

Para semelhança entre modelo (variáveis sem “”) e protótipo (com “”) assumimos \pi_{1},\pi_{2},\pi_{3},\pi_{4} iguais em ambos. Em particular
\frac{Q^*}{D^{*3}\omega^*}=\frac{Q}{D^{3}\omega} \quad\Longrightarrow\quad Q^*=Q\left(\frac{D^*}{D}\right)^{3}\!\frac{\omega^*}{\omega},
\frac{\Delta p^*}{\rho D^{*2}\omega^{*2}} =\frac{\Delta p}{\rho D^{2}\omega^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \Delta p^*=\Delta p\left(\frac{D^*}{D}\right)^{2}\!\left(\frac{\omega^*}{\omega}\right)^{2}.

Passo 6

No modelo temos D=0{,}20 m, \omega=1000 rpm, \Delta p=50 kPa, Q=30 L/s. Para o protótipo serviríamos os valores D^* e \omega^* dados pelo cartão UFRGS, mas sem esses números não há como calcular numericamente \Delta p^* e Q^*.

Resposta

(a) As variáveis repetidas são \rho, D e \omega.
(b)
\pi_{1}=\frac{P}{\rho\,D^{5}\omega^{3}}, \qquad \pi_{2}=\frac{Q}{D^{3}\,\omega}.
(c) Pelas leis de semelhança:
Q^*=Q\!\left(\frac{D^*}{D}\right)^{3}\!\frac{\omega^*}{\omega}, \quad \Delta p^*=\Delta p\!\left(\frac{D^*}{D}\right)^{2}\!\Bigl(\frac{\omega^*}{\omega}\Bigr)^{2},
mas faltam os valores numéricos de D^* e \omega^*.

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