A demanda diária de arroz num supermercado x, em centenas de quilos, é uma variáve aleatória com função densidade de probabilidade:
f(x)=\left\{\begin{array}{cc} \frac{2 x}{3}, & \text { se } 0 \leq x<1 \\\\ 1-\frac{x}{3}, & \text { se } 1 \leq x \leq 3 \\\\ 0, & \text { caso contrario } \end{array}\right.
(a) Qual é a probabilidade de se vender mais de 150 kg num dia escolhido ao acaso?
(b) Qual a quantidade de arroz que deve ser deixada à disposição dos clientes diariamente para que não falte arroz em 95 \% dos dias?

Passo 1

O enunciado diz que a demanda diária de arroz x\) (em centenas de quilos) tem densidade \[f(x)= \begin{cases} \tfrac{2x}{3},&0\le x<1,\\\\ 1-\tfrac{x}{3},&1\le x\le3,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
(a) pede P(x>1{,}5)\] (\(150,kg corresponde a x=1{,}5). (b) pede o valor q tal que P(x\le q)=0{,}95, ou seja, o quantil de ordem 0,95. Vamos precisar usar integração para achar probabilidades e conhecer a forma da função de distribuição acumulada F(x).

Passo 2

Para (a), note que 1{,}5\in[1,3], então
P(x>1{,}5)=\int_{1{,}5}^{3}\Bigl(1-\tfrac{x}{3}\Bigr)\,dx.
Calculando,
\int\Bigl(1-\tfrac{x}{3}\Bigr)\,dx =x-\tfrac{x^2}{6},
então
P(x>1{,}5) =\Bigl[x-\tfrac{x^2}{6}\Bigr]_{1{,}5}^{3} =\Bigl(3-\tfrac{9}{6}\Bigr)-\Bigl(1{,}5-\tfrac{(1{,}5)^2}{6}\Bigr) =1{,}5-1{,}125=0{,}375.

Passo 3

Para (b), primeiro obtemos a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x).
1. Se 0\le x<1,
F(x)=\int_0^x\frac{2t}{3}\,dt =\Bigl[\tfrac{t^2}{3}\Bigr]_0^x =\frac{x^2}{3}.
2. Se 1\le x\le3,
F(x) =F(1^-)+\int_{1}^{x}\Bigl(1-\tfrac{t}{3}\Bigr)\,dt =\frac{1^2}{3}+\Bigl[t-\tfrac{t^2}{6}\Bigr]_{1}^{x} =\frac{1}{3}+\Bigl(x-\tfrac{x^2}{6}-1+\tfrac{1}{6}\Bigr) =x-\tfrac{x^2}{6}-\frac{1}{2}.

Passo 4

Agora queremos q\in[1,3] tal que
F(q)=0{,}95,
ou seja
q-\frac{q^2}{6}-\frac12=0{,}95 \;\Longrightarrow\; q-\frac{q^2}{6}=1{,}45 \;\Longrightarrow\; -\!q^2+6q-8{,}7=0 \;\Longrightarrow\; q^2-6q+8{,}7=0.
A resolução dessa quadrática dá
q=\frac{6\pm\sqrt{36-4\cdot8{,}7}}{2} =\frac{6\pm\sqrt{1{,}2}}{2},
e como q\le3 escolhemos
q=\frac{6-\sqrt{1{,}2}}{2}\approx2{,}4523.
Isso em centenas de quilos é 2{,}4523, ou seja aproximadamente 245{,}23,kg.

Resposta

(a) 0{,}375.
(b) Cerca de 245,kg.

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