A demanda diária de arroz em um supermercado, em centenas de quilos, é uma variável aleatória X com função densidade.
f(x)= 23 x, & se 0 <= x<1 -x3+1, & se 1 <= x<3 0, & caso contrário á
a) Determine a função de distribuição acumulada.
b) Qual a probabilidade, em um dia escolhido ao acaso, a demanda ser superior a 150 kg ?
c) Calcule a E(X) e V (X).
Resp.: a) F(X)= x^23 x, & se 0 <= x<1 -x^26+x-12, & se 1 <= x<3 1, & se x >= 3
b) c=0,375 ; c) E(X)=43 e V(X)=718

Passo 1

O enunciado dá a densidade de uma variável contínua
e pede:
a) a função de distribuição acumulada );
c) e .
Para resolver, vamos usar a definição
e depois calcular esperança e variância via integrais.

Passo 2

Calculamos F(x) em cada região:
Para x<0 temos
F(x)=0
Para 0<= x<1:
F(x)=integral0^x23t,dt =23cdotx^22 =x^23
Para 1<= x<3: primeiro F(1^-)=tfrac13. Depois
integral1^xl(-t3+1r)dt =l[-t^26+tr]1^x =-x^26+x -l(-16+1r) =-x^26+x-12
Somando F(1^-),
F(x)=13 +l(-x^26+x-12r) =-x^26+x-12
Para x>=3:
F(x)=1
Portanto, em forma compacta,
F(x)= 0, & x<0, x^23, & 0<= x<1, -x^26+x-12, & 1<= x<3, 1, & x>=3

Passo 3

Queremos P(X>1,5). Como X é contínua,
P(X>1,5)=1-F(1,5)
Usando a expressão para 1<= x<3,
F(1,5) =-(1,5)^26+1,5-12 =-2,256+1,5-12 =-0,375+1,5-0,5 =0,625
Logo
P(X>1,5)=1-0,625=0,375

Passo 4

Calculamos a esperança:
E(X) =integral0^1xcdot23x,dx +integral1^3xl(-x3+1r)dx
Na primeira integral,
integral0^123x^2dx =23cdot13 =29
Na segunda,
integral1^3l(-x^23+xr)dx =l[-x^39+x^22r]1^3 =1,111ldots =109
Somando,
E(X)=29+109=129=43

Passo 5

Para a variância, achamos E(X^2):
E(X^2) =integral0^1x^2cdot23x,dx +integral1^3x^2l(-x3+1r)dx
Na primeira parte,
integral0^123x^3dx =23cdot14 =16
Na segunda,
integral1^3l(-x^33+x^2r)dx =l[-x^412+x^33r]1^3 =2
Logo
E(X^2)=16+2=136,
e
Var(X) =E(X^2)-l[E(X)r]^2 =136-l(43r)^2 =718

Resposta

a) F(x)= 0, & x<0, dfracx^23, & 0<= x<1, -dfracx^26+x-dfrac12, & 1<= x<3, 1, & x>=3
b) P(X>1,5)=0,375.
c) E(X)=tfrac43 e Var(X)=tfrac718

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