Demanstre que lim x 0 x^x cos 2x

Passo 1

O enunciado pede para discutir o comportamento de
f(x)=x^xcos!l(tfrac2xr)
quando xto0.
O conteúdo envolve limites de funções elementares, em particular o cálculo de limxto0^+x^x e a oscilação de cos(2/x). Para mostrar que o limite não existe, vamos usar o método de subsequências.

Passo 2

Primeiro, note que para x>0 vale
x^x=e^xln x
Como
limxto0^+xln x =limxto0^+ln x1/x stackrelL'Hôpital= limxto0^+1/x-1/x^2 =limxto0^+(-x) =0, ô
segue que
limxto0^+x^x =limxto0^+e^xln x =e^0 =1

Passo 3

Agora, embora x^xto1, o fator cos(2/x) oscila à medida que xto0, pois tfrac2xto+infty. Para tornar isso preciso, escolhemos duas subsequências convergindo a 0 que forçam cos(2/x) a assumir valores distintos:
1. Defina
xn=22pi n,, ninN
Então xnto0 e
cos!l(2xnr) =cos(2cdot2pi n2) =cos(2pi n) =1
Como xn^xnto1, temos
f(xn)=xn^xncos!l(tfrac2xnr);longrightarrow;1cdot1=1
2. Defina
yn=2(2n+1)pi,, ninN
Então ynto0 e
cos!l(2ynr) =cosl((2n+1)pir) =-1
De modo análogo, yn^ynto1 implica
f(yn)=yn^yncos!l(tfrac2ynr);longrightarrow;1cdot(-1)=-1

Passo 4

Como encontramos duas sequências xnto0 e ynto0 para as quais f(xn)to1 e f(yn)to-1, o valor de f(x) quando xto0 não pode tender a um único número. Pelo teste de subsequências, concluímos que o limite não existe.

Resposta

O limite limxto0x^xcos!l(tfrac2xr) não existe.

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