Demanstre que
Passo 1
O enunciado pede para discutir o comportamento de
quando .
O conteúdo envolve limites de funções elementares, em particular o cálculo de e a oscilação de
. Para mostrar que o limite não existe, vamos usar o método de subsequências.
quando
O conteúdo envolve limites de funções elementares, em particular o cálculo de
Passo 2
Primeiro, note que para
vale
Como
segue que
Passo 3
Agora, embora
, o fator
oscila à medida que
, pois
. Para tornar isso preciso, escolhemos duas subsequências convergindo a
que forçam
a assumir valores distintos:
Então
e
Como
, temos
Então
e
De modo análogo,
implica
Passo 4
Como encontramos duas sequências
e
para as quais
e
, o valor de
quando
não pode tender a um único número. Pelo teste de subsequências, concluímos que o limite não existe.
Resposta
O limite
não existe.