Questāo 1 (Vlr. 1,5 pontos) Resolva o PVI abaixo usando a Transformada de Laplace
y^prime prime+4 y=f(t), y(0)=1, y^prime(0)=0
onde f(t)=llct & se & 0 <= t<2 0 & sc & t >= 2

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI \r
;y''+4y=f(t), y(0)=1,;y'(0)=0, \r
onde \r
f(t)=t,&0<= t<2,0,&t>=2 \r
O conteúdo é resolução de EDO de segunda ordem por transformada de Laplace, incluindo força aplicada em regime “peça-por-peça” (função em escalões). Vamos transformar a equação em termos de Y(s)= Ly(t), achar Y(s) e voltar ao domínio do tempo.

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace em y''+4y=f(t) e usando
Ly''=s^2Y(s)-s,y(0)-y'(0)=s^2Y(s)-scdot1-0
temos
s^2Y(s)-s+4Y(s)=F(s),
isto é
(s^2+4),Y(s)=s+F(s) Longrightarrow Y(s)=s+F(s)s^2+4

Passo 3

Escrevemos
f(t)=tl[u(t)-u(t-2)r],
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F(s)= Lt- Lt,u(t-2) =1s^2 -;e^-2s, Lt+2|,tauto t-2 =1s^2-e^-2sl(1s^2+2sr)

Passo 4

Substituindo em Y(s):
Y(s) =ss^2+4 +1s^2(s^2+4) -e^-2s,;1s^2+2s;s^2+4
Para inverter temos três termos:
  1. L^-1!ltfracss^2+4r=cos(2t)
  2. H(s)=1s^2(s^2+4) por frações parciais dá
H(s)=14s^2-14(s^2+4),
então
h(t)= L^-1H(s) = t4-18sin(2t)
  1. K(s)=1s(s^2+4) por frações parciais dá
K(s)=14s-14ss^2+4,
de onde
L^-12K(s) =2l(tfrac14-tfrac14cos(2t)r) =tfrac12-tfrac12cos(2t)

Passo 5

Usando o deslocamento da segunda parte,
L^-1e^-2sG(s) =u(t-2),g(t-2),
temos
y(t) =cos(2t)+h(t) -u(t-2)l[h(t-2)+2,k(t-2)r]
Substituindo h e 2k e lembrando u(t-2)=0 para t<2 e 1 para t>=2, obtemos a forma final em blocos.

Passo 6

Para 0<= t<2 (a porção de força ativa de 0 a t):
y(t) =cos(2t)+ t4-18sin(2t)
Para t>=2 (após t=2 a força cai a zero e só sobra a resposta livre corrigida):
y(t) =cos(2t)-18sin(2t) +18sin!l(2(t-2)r) +12cos!l(2(t-2)r)

Resposta

Para 0<= t<2:
y(t)=cos(2t)+ t4-18sin(2t)
Para t>=2:
y(t) =cos(2t)-18sin(2t) +18sin!l(2(t-2)r) +12cos!l(2(t-2)r)

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