Demonstra por meio da integral que o centro de um triângulo retângulo com altura He base
se localiza a uma distância de
do vértice correspondente no ângulo reto
Passo 1
A questão pede pra mostrar, usando integrais, que o centroide de um triângulo retângulo de base
e altura
fica a uma distância
do vértice do ângulo reto ao longo da base. O que vamos precisar é da definição de centroide em coordenadas:
e do cálculo de área por integração.
Passo 2
Vamos posicionar o triângulo num sistema de coordenadas: o vértice do ângulo reto em
, a base ao longo do eixo
de
a
e a altura ao longo do eixo
até
. A hipotenusa é dada por
.
Passo 3
O elemento de área é
. A área total do triângulo é
Passo 4
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do eixo
do centroide:
Passo 6
Passo 7
Vamos calcular a integral no numerador:
Passo 8
Passo 9
Substituindo em
temos
Passo 10
Passo 11
Portanto, o centroide fica a
do vértice correspondente ao ângulo reto ao longo da base.
Resposta
O centroide está localizado a uma distância
do vértice do ângulo reto ao longo da base.