Demonstra por meio da integral que o centro de um triângulo retângulo com altura He base B se localiza a uma distância de B / 3 do vértice correspondente no ângulo reto

Passo 1

A questão pede pra mostrar, usando integrais, que o centroide de um triângulo retângulo de base B e altura H fica a uma distância B/3 do vértice do ângulo reto ao longo da base. O que vamos precisar é da definição de centroide em coordenadas: barx=tfrac1Aintegral dupla x,dA e do cálculo de área por integração.

Passo 2

Vamos posicionar o triângulo num sistema de coordenadas: o vértice do ângulo reto em (0,0), a base ao longo do eixo x de 0 a B e a altura ao longo do eixo y até H. A hipotenusa é dada por y(x)=H-tfracHB,x.

Passo 3

O elemento de área é dA=y(x),dx. A área total do triângulo é

Passo 4

A=integral0^By(x),dx=integral0^Bl(H-tfracHBxr)dx=H B-tfracH2BB^2=tfracBH2,

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do eixo x do centroide:

Passo 6

barx=1Aintegral0^Bx,y(x),dx=1tfracBH2integral0^Bxl(H-tfracHBxr)dx,

Passo 7

Vamos calcular a integral no numerador:

Passo 8

integral0^Bl(Hx-tfracHBx^2r)dx=HB^22-HBB^33=HB^22-HB^23=HB^26,

Passo 9

Substituindo em barx temos

Passo 10

barx=1tfracBH2cdotHB^26=2BHcdotHB^26=2B6=B3,

Passo 11

Portanto, o centroide fica a B/3 do vértice correspondente ao ângulo reto ao longo da base.

Resposta

O centroide está localizado a uma distância B/3 do vértice do ângulo reto ao longo da base.

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