Demonstração Demonstre que, se
e
são matrizes quadradas e
, então
é inversível e
.
Passo 1
O enunciado diz que
,
e
são matrizes quadradas tais que
Queremos mostrar que
é invertível e que
Para isso vamos usar duas ideias-chave:
- Uma matriz quadrada que possui inversa à direita (ou à esquerda) é invertível.
- Se uma matriz é invertível, podemos cancelar essa matriz multiplicando pelos seus inversos.
Passo 2
Da igualdade
concluímos que
tem inversa à direita (que é
), logo
é invertível.
Analogamente, de
Analogamente, de
segue que
tem inversa à esquerda (que é
), logo
é invertível.
Passo 3
Multiplicamos
à esquerda por
:
Como
é invertível, multiplicamos à direita por
e obtemos
Isto mostra que
é inversa à esquerda de
.
Passo 4
Agora multiplicamos
à direita por
:
Como
é invertível, multiplicamos à esquerda por
e obtemos
Isto mostra que
é inversa à direita de
.
Passo 5
Como
é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de
, concluímos que
é invertível e que