Demonstração Demonstre que, se A, B e C são matrizes quadradas e A B C=I, então B é inversível e B^-1=C A.

Passo 1

O enunciado diz que A, B e C são matrizes quadradas tais que
ABC = I
Queremos mostrar que B é invertível e que
B^-1 = CA
Para isso vamos usar duas ideias-chave:
  1. Uma matriz quadrada que possui inversa à direita (ou à esquerda) é invertível.
  2. Se uma matriz é invertível, podemos cancelar essa matriz multiplicando pelos seus inversos.

Passo 2

Da igualdade
A,(BC)=I
concluímos que A tem inversa à direita (que é BC), logo A é invertível.
Analogamente, de
(AB),C = I
segue que C tem inversa à esquerda (que é AB), logo C é invertível.

Passo 3

Multiplicamos ABC=I à esquerda por C:
C,(ABC)=CLongrightarrow (CA)(BC)=C
Como C é invertível, multiplicamos à direita por C^-1 e obtemos
(CA),B = I
Isto mostra que CA é inversa à esquerda de B.

Passo 4

Agora multiplicamos ABC=I à direita por A:
(ABC),A = ALongrightarrow (AB)(CA)=A
Como A é invertível, multiplicamos à esquerda por A^-1 e obtemos
B,(CA) = I
Isto mostra que CA é inversa à direita de B.

Passo 5

Como CA é simultaneamente inversa à esquerda e à direita de B, concluímos que B é invertível e que
B^-1 = CA

Resposta

B é invertível e B^-1 = CA.

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