Demonstração guiada Demonstre que, se
, então ou
é singular ou
.
Começando: você deve mostrar que ou
é singular ou
é igual à matriz identidade.
(i) Comece sua demonstração observando que
é ou singular ou não singular.
(ii) Se A é singular, então você já acabou.
(iii) Se
não é singular, use a matriz inversa
e a hipótese
para mostrar que
.
Começando: você deve mostrar que ou
(i) Comece sua demonstração observando que
(ii) Se A é singular, então você já acabou.
(iii) Se
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para uma matriz quadrada
satisfazendo
ou
é singular (não invertível) ou necessariamente
. O conteúdo aqui é trabalhar com matrizes idempotentes e usar caso singular versus caso inversível.
Passo 2
Observe primeiro que, em geral, uma matriz quadrada
é ou singular ou não singular (invertível). Se
for singular, já satisfazemos uma das alternativas da afirmação e não há mais o que fazer.
Passo 3
Agora suponha que
não é singular, ou seja, existe
. A partir de
multiplicamos à esquerda por
:
Como
e
, obtemos
Passo 4
Reunindo os casos, vemos que ou
é singular ou, se for invertível, necessariamente
. Isso completa a demonstração.
Resposta
Ou
é singular ou
.