Demonstração guiada Demonstre que, se A^2=A, então ou A é singular ou A=I.
Começando: você deve mostrar que ou A é singular ou A é igual à matriz identidade.
(i) Comece sua demonstração observando que A é ou singular ou não singular.
(ii) Se A é singular, então você já acabou.
(iii) Se A não é singular, use a matriz inversa A^-1 e a hipótese A^2=A para mostrar que A=I.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para uma matriz quadrada A satisfazendo
A^2=A,
ou A é singular (não invertível) ou necessariamente A=I. O conteúdo aqui é trabalhar com matrizes idempotentes e usar caso singular versus caso inversível.

Passo 2

Observe primeiro que, em geral, uma matriz quadrada A é ou singular ou não singular (invertível). Se A for singular, já satisfazemos uma das alternativas da afirmação e não há mais o que fazer.

Passo 3

Agora suponha que A não é singular, ou seja, existe A^-1. A partir de A^2=A multiplicamos à esquerda por A^-1:
A^-1A^2=A^-1A
Como A^-1A=I e A^-1A^2=(A^-1A)A=IA=A, obtemos
A = I

Passo 4

Reunindo os casos, vemos que ou A é singular ou, se for invertível, necessariamente A=I. Isso completa a demonstração.

Resposta

Ou A é singular ou A = I.

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