Demonstração guiada Demonstre que a inversa de uma matriz não singular simétrica é simétrica.
Começando: para demonstrar que a inversa de A é simétrica, você precisa mostrar que (A^-1)^T=A^-1.
(i) Seja A uma matriz simétrica e não singular.
(ii) Isso significa que A^T=A e A^-1 existe.
(iii) Use as propriedades da transposta para mostrar que (A^-1)^T é igual a A^-1.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada não singular e simétrica, ou seja, satisfaz
A^T = A
e existe A^-1 tal que
A A^-1 = A^-1 A = I
Queremos provar que a inversa A^-1 também é simétrica, isto é,
l(A^-1r)^T = A^-1

Passo 2

Lembrando a propriedade da transposta do produto: para matrizes compatíveis X e Y, vale
(XY)^T = Y^T X^T

Passo 3

Aplique a transposição à igualdade A A^-1 = I. Temos
(A A^-1)^T = I^T
Como I^T = I e usando a propriedade acima, isso dá
(A^-1)^T A^T = I

Passo 4

Como A é simétrica ( A^T = A), substituímos e obtemos
(A^-1)^T A = I
De modo análogo, transpondo A^-1A = I vemos que
A (A^-1)^T = I

Passo 5

Portanto (A^-1)^T é tanto inversa à direita quanto inversa à esquerda de A. Mas para matrizes quadradas a inversa é única, logo
(A^-1)^T = A^-1,
ou seja, A^-1 é simétrica.

Resposta

Foi demonstrado que l(A^-1r)^T = A^-1, logo a inversa de A também é simétrica.

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