Demonstração guiada Demonstre que a inversa de uma matriz não singular simétrica é simétrica.
Começando: para demonstrar que a inversa de A é simétrica, você precisa mostrar que
.
(i) Seja
uma matriz simétrica e não singular.
(ii) Isso significa que
e
existe.
(iii) Use as propriedades da transposta para mostrar que
é igual a
.
Começando: para demonstrar que a inversa de A é simétrica, você precisa mostrar que
(i) Seja
(ii) Isso significa que
(iii) Use as propriedades da transposta para mostrar que
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada não singular e simétrica, ou seja, satisfaz
e existe
tal que
Queremos provar que a inversa
também é simétrica, isto é,
Passo 2
Lembrando a propriedade da transposta do produto: para matrizes compatíveis
e
, vale
Passo 3
Aplique a transposição à igualdade
. Temos
Como
e usando a propriedade acima, isso dá
Passo 4
Como
é simétrica (
), substituímos e obtemos
De modo análogo, transpondo
vemos que
Passo 5
Portanto
é tanto inversa à direita quanto inversa à esquerda de
. Mas para matrizes quadradas a inversa é única, logo
ou seja,
é simétrica.
Resposta
Foi demonstrado que
, logo a inversa de
também é simétrica.