Demonstração Demonstre a Propriedade 2 do Teorema 2.10: se C é uma matriz inversível tal que C A=C B, então A=B.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se temos uma matriz invertível C e duas matrizes A e B tais que
C,A = C,B,
então necessariamente
A = B
O conteúdo principal aqui é a definição de matriz invertível e o uso da propriedade de que multiplicar pela inversa “cancela” a matriz original.

Passo 2

Como C é invertível, existe uma matriz C^-1 que satisfaz
C^-1C = I e C,C^-1 = I,
onde I é a matriz identidade de mesma ordem que C.

Passo 3

Partindo da igualdade dada, multiplica-mos ambos os lados por C^-1 `a esquerda. Assim,
C cdot A = C cdot B Longrightarrow C^-1 cdot (C cdot A) ;=; C^-1 cdot (C cdot B)

Passo 4

Pela associatividade da multiplicação de matrizes e pela propriedade C^-1C=I, temos
(C^-1C),A = (C^-1C),B Longrightarrow I,A = I,B
E como I,A = A e I,B = B, concluímos que
A = B

Resposta

A igualdade A=B está demonstrada.

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