Demonstração Demonstre a Propriedade 2 do Teorema 2.10: se
é uma matriz inversível tal que
, então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se temos uma matriz invertível
e duas matrizes
e
tais que
então necessariamente
O conteúdo principal aqui é a definição de matriz invertível e o uso da propriedade de que multiplicar pela inversa “cancela” a matriz original.
Passo 2
Como
é invertível, existe uma matriz
que satisfaz
onde
é a matriz identidade de mesma ordem que
.
Passo 3
Partindo da igualdade dada, multiplica-mos ambos os lados por
`a esquerda. Assim,
Passo 4
Pela associatividade da multiplicação de matrizes e pela propriedade
, temos
E como
e
, concluímos que
Resposta
A igualdade
está demonstrada.