Determinação da inversa de uma matriz Nos Exercícios 59 e 60, mostre que a matriz é inversível e encontre sua inversa.
A=[rrsen theta & cos theta -cos theta & sen theta]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = sintheta & costheta -costheta & sintheta
e pede para mostrar que ela é inversível e determinar A^-1. O conteúdo aqui é matriz 2times2, então vamos usar (1) o cálculo do determinante para verificar inversibilidade e (2) a fórmula do inverso de uma matriz 2times2.

Passo 2

Calcular o determinante de A. Para
A = a & b c & d ,
temos det(A)=ad - bc. Aqui
a = sintheta, b = costheta, c = -costheta, d = sintheta
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det(A) = (sintheta)(sintheta) - (costheta)(-costheta) = sin^2theta + cos^2theta = 1

Passo 3

Como det(A)=1neq0, a matriz A é inversível. Além disso, a fórmula do inverso de uma matriz 2times2 é
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a

Passo 4

Aplicando a fórmula com a=sintheta, b=costheta, c=-costheta, d=sintheta e det(A)=1, obtemos
A^-1 = sintheta & -costheta costheta & sintheta

Resposta

A^-1 = sintheta & -costheta costheta & sintheta

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