Reflita sobre as afirmações abaixo, apresentando um contra-exemplo para cada afirmação falsa.
Se A é uma matriz quadrada qualquer, então det A=det A^t

Passo 1

O enunciado pede para verificar a validade da seguinte afirmação e, caso ela seja falsa, apresentar um contra-exemplo:
“Ao transpor qualquer matriz quadrada A, o determinante não muda, ou seja, det A = det A^t.”
O conteúdo envolvido é a definição e as propriedades de determinante, especialmente sob a operação de transposição.

Passo 2

Relembremos a definição de determinante por somatório sobre permutações. Para A=(aij)inR^ntimes n,
det(A);=;sumsigmain Snsgn(sigma),prodi=1^nai,sigma(i)

Passo 3

Ao calcular det(A^t), cada termo do produto troca ai,sigma(i) por (A^t)i,sigma(i)=asigma(i),i. Logo
prodi=1^n(A^t)i,sigma(i) =prodi=1^nasigma(i),i =prodj=1^naj,sigma^-1(j),
e como sgn(sigma^-1)=sgn(sigma), basta renomear tau=sigma^-1 no somatório para ver que
det(A^t) =sumsigmain Snsgn(sigma)prodi=1^n(A^t)i,sigma(i) =sumtauin Snsgn(tau)prodj=1^naj,tau(j) =det(A)

Passo 4

Concluímos que a igualdade det A = det A^t vale para toda matriz quadrada A. Não existe, portanto, nenhum contra-exemplo.

Resposta

A afirmação é verdadeira para qualquer matriz quadrada, portanto não há contra-exemplo.

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