Reflita sobre as afirmações abaixo, apresentando um contra-exemplo para cada afirmação falsa.
Se
é uma matriz quadrada qualquer, então
Se
Passo 1
O enunciado pede para verificar a validade da seguinte afirmação e, caso ela seja falsa, apresentar um contra-exemplo:
“Ao transpor qualquer matriz quadrada , o determinante não muda, ou seja,
.”
O conteúdo envolvido é a definição e as propriedades de determinante, especialmente sob a operação de transposição.
“Ao transpor qualquer matriz quadrada
O conteúdo envolvido é a definição e as propriedades de determinante, especialmente sob a operação de transposição.
Passo 2
Relembremos a definição de determinante por somatório sobre permutações. Para
,
Passo 3
Ao calcular
, cada termo do produto troca
por
. Logo
e como
, basta renomear
no somatório para ver que
Passo 4
Concluímos que a igualdade
vale para toda matriz quadrada
. Não existe, portanto, nenhum contra-exemplo.
Resposta
A afirmação é verdadeira para qualquer matriz quadrada, portanto não há contra-exemplo.