4 - Demonstração da Lei Fraca usando Funções Geradoras

O objetivo aqui é provar a lei (fraca) de grandes números usando funções geradoras de momento. Em particular, deixe X1, X2, ldots, Xn ser i.i.d. variáveis aleatórias com valor esperado
E[Xi]=mu
e funções geradoras de momento MX(s) que é finito em algum intervalo [-c, c] onde c>0 é uma constante. Seja
X=X1+X2+cdots+Xnn
Prove
lim n infty MbarX(s)=e^s mu, para todo s in[-c, c]
Uma vez que esta é a função geradora de momento da variável aleatória constante mu, concluímos que a distribuição de X converge para mu.
Dica: use que para uma variável aleatória X com funções geradoras de momento bem definida, MX(s), temos
lim n infty[MX(sn)]^n=e^s E[X]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um conjunto de variáveis aleatórias i.i.d. X1,dots,Xn com E[Xi]=mu e MGF MX(s) finita em [-c,c], a MGF da média overline X=tfrac1nsumi=1^nXi satisfaz limntoinftyMoverline X(s)=e^smu. Vamos usar propriedades de MGF e um limite clássico.

Passo 2

Pela independência, a MGF da soma é o produto das MGFs. Logo, para a média:
Moverline X(s)=El[e^soverline Xr]=El[e^tfrac snsumi=1^nXir]=prodi=1^nMXl(tfrac snr)=l[MX(tfrac sn)r]^n

Passo 3

Para encontrar o limite dessa expressão, usamos o fato dado (ou derivamos por expansão de Taylor em torno de zero):
limntoinftyl[MX(tfrac sn)r]^n=expl(s,E[X]r)=e^smu
Aqui, vale observar que MX(h)=1+mu h+o(h) quando hto0, o que leva a nln MX(s/n)to smu e portanto ao resultado acima.

Passo 4

Como e^smu é a MGF de uma constante mu, concluímos que a distribuição de overline X converge para a variável degenerada em mu, provando a lei fraca dos grandes números por MGF.

Resposta

e^smu

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