Sejam variáveis aleatórias independentes com distribuição comum . Prove que
converge quase certamente e determine para qual valor.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a sequência
converge quase certamente e achar seu limite. O conteúdo principal é a Lei Forte dos Grandes Números (SLLN), aplicando-a a variáveis iid com distribuição e funções integráveis dessas variáveis.
Passo 2
Pela SLLN, para variáveis independentes identicamente distribuídas com , temos quase certamente
Como X1sim N(0,1),
E[X1^2]=1,
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X1^2+cdots+Xn^2nxrightarrow[ntoinfty]1cs .
Passo 3
De modo semelhante, aplique a SLLN a (Xi-1)^2. Note que