Sejam X1, X2, ldots variáveis aleatórias independentes com distribuição comum No(0,1). Prove que
X1^2+cdots+Xn^2(X1-1)^2+cdots+(Xn-1)^2
converge quase certamente e determine para qual valor.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência
Rn=X1^2+cdots+Xn^2(X1-1)^2+cdots+(Xn-1)^2
converge quase certamente e achar seu limite. O conteúdo principal é a Lei Forte dos Grandes Números (SLLN), aplicando-a a variáveis iid com distribuição N(0,1) e funções integráveis dessas variáveis.

Passo 2

Pela SLLN, para variáveis independentes identicamente distribuídas com E[X1^2], temos quase certamente
X1^2+cdots+Xn^2nxrightarrow[ntoinfty]E[X1^2]
Como X1sim N(0,1),
E[X1^2]=1,
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X1^2+cdots+Xn^2nxrightarrow[ntoinfty]1cs .

Passo 3

De modo semelhante, aplique a SLLN a (Xi-1)^2. Note que
E[(X1-1)^2]=E[X1^2]-2E[X1]+1=1-0+1=2
Portanto,
(X1-1)^2+cdots+(Xn-1)^2nxrightarrow[ntoinfty]2cs .

Passo 4

Como quase certamente os denominadores não são zero para n grande, pelo limite de quociente de sequências a.s. segue
Rn=X1^2+cdots+Xn^2(X1-1)^2+cdots+(Xn-1)^2 =1n(X1^2+cdots+Xn^2)1nl((X1-1)^2+cdots+(Xn-1)^2r) xrightarrow[ntoinfty] 12cs .

Resposta

A sequência converge quase certamente para tfrac12.

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