7 - Integração de Monte Carlo

Sejam f uma função contínua com imagem no intervalo [0,1] e X1, c1, X2, c2 cdots uma sequência de variáveis aleatórias independentes uniformes no [0,1]. Tomamos
Yi= 1, & se f(Xi)>ci 0, & se f(Xi) <= ci
Prove que:
1n sumi=1^n Yi integral0^1 f(x) d x, quase certamente

Passo 1

A questão apresenta uma função contínua f:[0,1]to[0,1] e uma sequência (Xi,ci)i>=1 de pares independentes, cada Xi e ci sendo uniformes em [0,1]. Definimos o indicador Yi=1 se f(Xi)>ci (caso contrário Yi=0). Queremos mostrar que a média amostral tfrac1nsumi=1^nYi converge quase certamente a integral0^1f(x),dx. Para isso vamos precisar da definição de esperança condicional e da Lei Forte dos Grandes Números (LFGN).

Passo 2

Primeiro calculamos a esperança de Yi condicionada a um valor fixo de Xi=x. Como ci é uniforme em [0,1], temos
P(Yi=1mid Xi=x)=P(ci
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E(Yimid Xi)=f(Xi)

Passo 3

Em seguida usamos a “fórmula da torre” (lei da expectativa total):
E(Yi)=El(E(Yimid Xi)r)=El(f(Xi)r)
Mas Xi é uniforme em [0,1], então
E(f(Xi))=integral0^1f(x),dx

Passo 4

Observamos que cada Yi é função do par (Xi,ci) e que esses pares são i.i.d. Portanto os Yi são i.i.d. com esperança finita E(Yi)=integral0^1f(x),dx.

Passo 5

Aplicamos agora a Lei Forte dos Grandes Números. Como (Yi) são i.i.d. e E(|Yi|), temos quase certamente
1nsumi=1^nYi;xrightarrow,as,;E(Y1)=integral0^1f(x),dx

Resposta

Como consequência da Lei Forte dos Grandes Números e do cálculo de E(Yi)=integral0^1f(x),dx, obtemos quase certamente
1nsumi=1^nYi;longrightarrow;integral0^1f(x),dx

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