Sejam uma função contínua com imagem no intervalo [0,1] e uma sequência de variáveis aleatórias independentes uniformes no [0,1]. Tomamos
Prove que:
Passo 1
A questão apresenta uma função contínua e uma sequência de pares independentes, cada e sendo uniformes em . Definimos o indicador se (caso contrário ). Queremos mostrar que a média amostral converge quase certamente a . Para isso vamos precisar da definição de esperança condicional e da Lei Forte dos Grandes Números (LFGN).
Passo 2
Primeiro calculamos a esperança de condicionada a um valor fixo de . Como é uniforme em , temos
Logo
Passo 3
Em seguida usamos a “fórmula da torre” (lei da expectativa total):
Mas é uniforme em , então
Passo 4
Observamos que cada é função do par e que esses pares são i.i.d. Portanto os são i.i.d. com esperança finita .
Passo 5
Aplicamos agora a Lei Forte dos Grandes Números. Como são i.i.d. e , temos quase certamente
Resposta
Como consequência da Lei Forte dos Grandes Números e do cálculo de E(Yi)=integral0^1f(x),dx, obtemos quase certamente