Sejam variáveis aleatórias independentes com e para todo , e seja . Prove que se , então .
[Esta é uma Lei Forte de Grandes Números para somas independentes, mas não necessariamente identicamente distribuídas.]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, com variáveis independentes X_i de esperança zero e variância σ_i² finita, se
c=sumk=1^inftyσk^2k^2
então
Snn=1nsumi=1^nXixrightarrowqc0
Este resultado é uma Lei Forte dos Grandes Números não identicamente distribuída. Vamos usar duas ferramentas: o critério de Kolmogorov para séries de variáveis independentes e o Lema de Kronecker.
Passo 2
Definimos a sequência
Yk=Xkk,
que herda independência e tem esperança nula, pois E[Yk]=E[Xk]/k=0. A variância é
Var(Yk)=σk^2k^2,
e portanto
sumk=1^inftyVar(Yk)=sumk=1^inftyσk^2k^2=c
Passo 3
Pelo critério de Kolmogorov, se (Yk)k>=1 são independentes, E[Yk]=0 e sumVar(Yk), então a série
sumk=1^inftyYk
converge quase certamente. Ou seja, existe limite finito
L=sumk=1^inftyYk(qc)
Passo 4
Agora aplicamos o Lema de Kronecker: se ak=k cresce para infinito e sumk=1^infty Yk converge, então