Sejam X1, X2, ldots variáveis aleatórias independentes com i e Sn=sumi c Xi para todo sum sigmak^2 / k^2, e seja Sn / n xrightarrow qc 0. Prove que se , então .
[Esta é uma Lei Forte de Grandes Números para somas independentes, mas não necessariamente identicamente distribuídas.]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, com variáveis independentes X_i de esperança zero e variância σ_i² finita, se
c=sumk=1^inftyσk^2k^2
então
Snn=1nsumi=1^nXixrightarrowqc0
Este resultado é uma Lei Forte dos Grandes Números não identicamente distribuída. Vamos usar duas ferramentas: o critério de Kolmogorov para séries de variáveis independentes e o Lema de Kronecker.

Passo 2

Definimos a sequência
Yk=Xkk,
que herda independência e tem esperança nula, pois E[Yk]=E[Xk]/k=0. A variância é
Var(Yk)=σk^2k^2,
e portanto
sumk=1^inftyVar(Yk)=sumk=1^inftyσk^2k^2=c

Passo 3

Pelo critério de Kolmogorov, se (Yk)k>=1 são independentes, E[Yk]=0 e sumVar(Yk), então a série
sumk=1^inftyYk
converge quase certamente. Ou seja, existe limite finito
L=sumk=1^inftyYk(qc)

Passo 4

Agora aplicamos o Lema de Kronecker: se ak=k cresce para infinito e sumk=1^infty Yk converge, então
1ansumk=1^n akYk=1nsumk=1^n kYkxrightarrowntoinfty0(qc)

Passo 5

Observando que
sumk=1^n kYk=sumk=1^n Xk=Sn,
segue que
Snn=1nsumk=1^n kYkxrightarrowqc0

Resposta

Sn/nxrightarrowqc0.

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