Sejam X1, X2, ldots variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com X1 sim Uni [0,1]. Prove que a média geométrica
(prodk=1^n Xk)^1 / n
converge quase certamente e determine para qual valor.
Dica: Aplique ln.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a média geométrica Gn=l(prodk=1^n Xkr)^1/n de variáveis i.i.d. Uniforme [0,1] converge quase certamente e encontrar o valor limite.

Passo 2

Para lidar com o produto, aplicamos o logaritmo natural e definimos Yk=ln Xk. Assim temos
ln Gn=1nsumk=1^n Yk

Passo 3

Queremos usar a Lei Forte dos Grandes Números em Yk. Primeiro note que
E[|Y1|]=E[-ln X1]=integral0^1(-ln x),dx=1
então a condição para a SLLN vale e obtemos quase certamente
1nsumk=1^n Ykto E[Y1]

Passo 4

Calculamos agora
E[Y1]=E[ln X1]=integral0^1ln x,dx=-1

Passo 5

Logo quase certamente temos
ln Gnto -1
e, exponenciando,
Gnto e^-1=1e

Resposta

1/e

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