Sejam
variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, com
Uni
. Prove que a média geométrica
converge quase certamente e determine para qual valor.
Dica: Aplique ln.
Dica: Aplique ln.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a média geométrica
de variáveis i.i.d. Uniforme
converge quase certamente e encontrar o valor limite.
Passo 2
Para lidar com o produto, aplicamos o logaritmo natural e definimos
. Assim temos
Passo 3
Queremos usar a Lei Forte dos Grandes Números em
. Primeiro note que
então a condição para a SLLN vale e obtemos quase certamente
Passo 4
Calculamos agora
Passo 5
Logo quase certamente temos
e, exponenciando,