Seja uma elipse com centro ( 0,0 ), eixo focal formando um ângulo
com o eixo
e constante
. Obtenha a equação da elipse.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma elipse com o centro na origem
, e o eixo maior formando um ângulo
com o eixo
. Além disso, foi dada uma constante
, que representa o semi-eixo maior da elipse. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa elipse.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar como é a equação geral de uma elipse centrada na origem, sem rotação. Ela é dada por:
Aqui,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor. Mas, como a nossa elipse está rotacionada em um ângulo
, precisamos ajustar essa equação para levar em conta a rotação.
Passo 3
Para uma elipse rotacionada, usamos uma transformação de coordenadas. Isso envolve substituir
e
por novas coordenadas
e
, que estão alinhadas com os eixos da elipse. As transformações são:
Essas fórmulas giram os eixos
e
em um ângulo
.
Passo 4
Agora, substituímos
e
na equação original da elipse pelas expressões acima:
Essa equação representa a elipse rotacionada em relação aos eixos originais.
Passo 5
Se quisermos deixar a equação apenas em termos de
e
, sem
e
, podemos expandir os termos e simplificar. No entanto, geralmente mantemos a equação nessa forma para facilitar o entendimento da rotação.
Passo 6
Portanto, a equação da elipse com centro na origem, semi-eixo maior
, e rotacionada em um ângulo
com o eixo
é:
Resposta
A equação da elipse é: