Seja uma elipse com centro ( 0,0 ), eixo focal formando um ângulo theta com o eixo O x e constante a. Obtenha a equação da elipse.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma elipse com o centro na origem (0,0), e o eixo maior formando um ângulo theta com o eixo O x. Além disso, foi dada uma constante a, que representa o semi-eixo maior da elipse. Nosso objetivo é encontrar a equação dessa elipse.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como é a equação geral de uma elipse centrada na origem, sem rotação. Ela é dada por:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor. Mas, como a nossa elipse está rotacionada em um ângulo theta, precisamos ajustar essa equação para levar em conta a rotação.

Passo 3

Para uma elipse rotacionada, usamos uma transformação de coordenadas. Isso envolve substituir x e y por novas coordenadas x' e y', que estão alinhadas com os eixos da elipse. As transformações são:
x = x' costheta - y' sintheta
y = x' sintheta + y' costheta
Essas fórmulas giram os eixos x e y em um ângulo theta.

Passo 4

Agora, substituímos x e y na equação original da elipse pelas expressões acima:
(x' costheta - y' sintheta)^2a^2 + (x' sintheta + y' costheta)^2b^2 = 1
Essa equação representa a elipse rotacionada em relação aos eixos originais.

Passo 5

Se quisermos deixar a equação apenas em termos de x e y, sem x' e y', podemos expandir os termos e simplificar. No entanto, geralmente mantemos a equação nessa forma para facilitar o entendimento da rotação.

Passo 6

Portanto, a equação da elipse com centro na origem, semi-eixo maior a, e rotacionada em um ângulo theta com o eixo O x é:
(x costheta + y sintheta)^2a^2 + (x sintheta - y costheta)^2b^2 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
(x costheta + y sintheta)^2a^2 + (x sintheta - y costheta)^2b^2 = 1

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