Se
é um grupo finito, demonstrar que existe um inteiro positivo
tal que
para todo
.
Passo 1
O enunciado dá que
é um grupo finito. Precisamos demonstrar que existe um inteiro positivo
tal que
para todo
. Vou listar claramente o que temos de informação:
-
é finito; seja o número de elementos de (um inteiro positivo). - Para cada
existe o elemento neutro .
A tarefa é encontrar um inteiroque funcione simultaneamente para todos os .
Passo 2
Definição importante (muito usada): para
, o subgrupo cíclico gerado por
é
Como
é finito,
também é finito. Definimos a ordem do elemento
, denotada por
, como o menor inteiro positivo
tal que
Por construção, o número de elementos de
é exatamente
.
Passo 3
Agora mostro que
divide
(essa é a parte essencial, que vem da ideia de Lagrange aplicada ao subgrupo
).
Considere as classes laterais (cosets) à esquerda de
:
Propriedades básicas:
- Duas classes laterais são disjuntas ou coincidem (se
e têm interseção não vazia então ). - A união de todas as classes laterais é todo
. - Cada classe lateral tem exatamente
elementos (a aplicação é bijetora em ).
Portanto as classes laterais particionam
em blocos de tamanho
. Seja
o número de classes laterais distintas; então
Assim
divide
.
Passo 4
Como
divide
, existe um inteiro
tal que
Elevar
a
dá
Essa igualdade vale para qualquer
. Logo, o inteiro
satisfaz
para todo
.
Passo 5
Observações extras (úteis para a prova, mas não necessárias para resolver): outra escolha possível é tomar
o mínimo inteiro comum das ordens dos elementos; esse
também satisfaz
para todo
. A escolha mais simples e imediata é
, já mostrada acima.