Se G é um grupo finito, demonstrar que existe um inteiro positivo N tal que a^{N}=e para todo a \in G.

Passo 1

O enunciado dá que G é um grupo finito. Precisamos demonstrar que existe um inteiro positivo N tal que
a^{N}=e
para todo a\in G. Vou listar claramente o que temos de informação:
  • G é finito; seja |G| o número de elementos de G (um inteiro positivo).
  • Para cada a\in G existe o elemento neutro e\in G.
    A tarefa é encontrar um inteiro N>0 que funcione simultaneamente para todos os a\in G.

Passo 2

Definição importante (muito usada): para a\in G, o subgrupo cíclico gerado por a é
\langle a\rangle=\{a^{k}\mid k\in\mathbb{Z}\}.
Como G é finito, \langle a\rangle também é finito. Definimos a ordem do elemento a, denotada por \mathrm{ord}(a), como o menor inteiro positivo d tal que
a^{d}=e.
Por construção, o número de elementos de \langle a\rangle é exatamente \mathrm{ord}(a).

Passo 3

Agora mostro que \mathrm{ord}(a) divide |G| (essa é a parte essencial, que vem da ideia de Lagrange aplicada ao subgrupo \langle a\rangle).
Considere as classes laterais (cosets) à esquerda de \langle a\rangle:
g\langle a\rangle=\{g x \mid x\in\langle a\rangle\},\qquad g\in G.
Propriedades básicas:
  • Duas classes laterais são disjuntas ou coincidem (se g\langle a\rangle e h\langle a\rangle têm interseção não vazia então g\langle a\rangle=h\langle a\rangle).
  • A união de todas as classes laterais é todo G.
  • Cada classe lateral tem exatamente |\langle a\rangle|=\mathrm{ord}(a) elementos (a aplicação x\mapsto gx é bijetora em \langle a\rangle).
Portanto as classes laterais particionam G em blocos de tamanho \mathrm{ord}(a). Seja m o número de classes laterais distintas; então
|G|=m\cdot\mathrm{ord}(a).
Assim \mathrm{ord}(a) divide |G|.

Passo 4

Como \mathrm{ord}(a) divide |G|, existe um inteiro m tal que
|G|=m\cdot\mathrm{ord}(a).
Elevar a a |G|
a^{|G|}=\bigl(a^{\mathrm{ord}(a)}\bigr)^{m}=e^{m}=e.
Essa igualdade vale para qualquer a\in G. Logo, o inteiro N=|G| satisfaz a^{N}=e para todo a\in G.

Passo 5

Observações extras (úteis para a prova, mas não necessárias para resolver): outra escolha possível é tomar
N=\operatorname{lcm}\{\mathrm{ord}(a)\mid a\in G\},
o mínimo inteiro comum das ordens dos elementos; esse N também satisfaz a^{N}=e para todo a. A escolha mais simples e imediata é N=|G|, já mostrada acima.

Resposta

N=|G|, pois a^{|G|}=e para todo a\in G.

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