(a) Se o grupo G tem três elementos, demonstrar que G é abeliano.
(b) Fazer a parte (a) para quatro elementos.
(c) Fazer a parte (a) para cinco elementos.

Passo 1

O enunciado pede três coisas separadas:
  • (a) Mostrar que se um grupo G tem |G|=3 então G é abeliano.
  • (b) Mostrar que se um grupo G tem |G|=4 então G é abeliano.
  • (c) Mostrar que se um grupo G tem |G|=5 então G é abeliano.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
  • G é um grupo finito (tem 3, 4 ou 5 elementos).
  • Queremos provar que a operação de G comuta: para todos x,y\in G vale xy=yx.
  • Podemos usar propriedades básicas de grupos finitos (tais como ordens de elementos e a divisão do número de elementos por ordens de subgrupos).

Passo 2

Vamos fixar definições e resultados que usaremos, explicados de forma direta e amigável.
Definições:
  • Um grupo G é abeliano se para todos x,y\in G tem-se xy=yx.
  • A ordem de um elemento g\in G, denotada \operatorname{ord}(g), é o menor inteiro positivo n tal que g^{n}=e (onde e é o elemento identidade). Se não existe tal n diz-se que a ordem é infinita, mas aqui G é finito.
  • Um grupo é cíclico se existe g\in G tal que G=\{e,g,g^{2},\dots\}; nesse caso escrevemos G=\langle g\rangle.
Resultado-chave (Lema útil — forma intuitiva de Lagrange):
  • Se H é um subgrupo de um grupo finito G, então |H| divide |G|.
    Explicação rápida e intuitiva: os cosets à esquerda de H (conjuntos do tipo aH) formam uma partição de G e cada coset tem exatamente |H| elementos; assim |G| é soma de vários blocos de tamanho |H|, logo |H| divide |G|.
    Consequência que usaremos: para qualquer g\in G, a ordem de \langle g\rangle divide |G|. Em particular, \operatorname{ord}(g) divide |G|.
Vou usar essas ideias para cada caso pequeno.

Passo 3

Parte (a): prova de que todo grupo G com |G|=3 é abeliano.
Argumento passo a passo:
  1. Seja G um grupo com |G|=3. Tome g\in G com g\neq e.
  2. Pela consequência da Lagrange, \operatorname{ord}(g) divide |G|=3. As únicas divisões possíveis são 1 e 3.
  3. \operatorname{ord}(g)\neq1 porque g\neq e. Logo \operatorname{ord}(g)=3.
  4. Então \langle g\rangle tem exatamente 3 elementos: \{e,g,g^{2}\}. Como |G|=3, isso força G=\langle g\rangle. Ou seja, G é cíclico.
  5. Todo grupo cíclico é abeliano: se G=\langle g\rangle então quaisquer x,y\in G são potências de g, digamos x=g^{a} e y=g^{b}. Então xy=g^{a}g^{b}=g^{a+b}=g^{b+a}=g^{b}g^{a}=yx.
  6. Conclusão: G é abeliano.
Breve comentário pedagógico: a ideia é simples — em grupos pequenos qualquer elemento não trivial costuma gerar o grupo inteiro quando o tamanho é primo. Gerar o grupo significa que todo mundo é potência daquele elemento, e potências comutam (pois reduzem a somas de expoentes).

Passo 4

Parte (b): prova de que todo grupo G com |G|=4 é abeliano.
Vamos analisar as possibilidades para as ordens dos elementos, usando Lagrange.
  1. Seja G com |G|=4. Para qualquer g\in G vale que \operatorname{ord}(g) divide 4. Assim \operatorname{ord}(g)\in\{1,2,4\}.
  2. Se existe g\in G com \operatorname{ord}(g)=4, então \langle g\rangle tem 4 elementos e portanto \langle g\rangle=G. Assim G é cíclico e, como lembrado antes, qualquer grupo cíclico é abeliano. Nesse caso pronto: G é abeliano.
  3. Caso contrário, nenhum elemento tem ordem 4. Então todos os elementos diferentes de e têm ordem 2 (porque as únicas possibilidades eram 1 ou 2, e não podem ter ordem 1 se não são e). Logo os três elementos não-triviais satisfazem x^{2}=e. Esse é o caso clássico do grupo de Klein V_4 (ou é isomorfo a ele).
  4. Mostremos que esse caso também implica comutatividade. Tome a,b\in G com a\neq e, b\neq e. Se a=b a comutatividade ab=ba é trivial. Suponha a\neq b. Observe que (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}. Mas como \operatorname{ord}(a)=\operatorname{ord}(b)=2 temos a^{-1}=a e b^{-1}=b. Então
(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba.
Por outro lado, para qualquer elemento x vale (x^{-1})^{-1}=x, então em particular ((ab)^{-1})^{-1}=ab. Assim invertendo ambos os lados da igualdade (ab)^{-1}=ba obtemos ab=(ba)^{-1}. Mas como ba também tem ordem 1 ou 2, vemos que (ba)^{-1}=ba. Concretamente, multiplicando à direita por ba ou usando a observação x^{-1}=x para elementos de ordem 2, deduz-se diretamente que ab=ba.
Uma forma ainda mais direta: calcular (ab)^{2}=e porque
(ab)^{2}=abab=a(ba)b.
Mas a^{2}=b^{2}=e implica (ab)^{2}=e. Assim ab tem ordem 1 ou 2. Se ab=e, então b=a^{-1}=a, contradizendo a\neq b. Logo ab tem ordem 2, então (ab)^{-1}=ab. Como mostrado antes (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba, logo ab=ba.
5. Portanto, em ambos os subcasos (há elemento de ordem 4 ou não) o grupo G é abeliano.
Comentário prático: grupos de ordem 4 são bem simples — ou são \mathbb{Z}_4 (cíclico) ou são V_4 (todos os não-identidade têm ordem 2) — e ambos são abelianos.

Passo 5

Parte (c): prova de que todo grupo G com |G|=5 é abeliano.
  1. O número 5 é primo. Isso facilita bastante.
  2. Seja G com |G|=5. Tome g\in G, g\neq e. Pela consequência da Lagrange, \operatorname{ord}(g) divide 5, logo \operatorname{ord}(g)\in\{1,5\}.
  3. Como g\neq e temos \operatorname{ord}(g)=5. Então \langle g\rangle tem 5 elementos e portanto \langle g\rangle=G.
  4. Conclusão: G é cíclico, e todo grupo cíclico é abeliano (potências de um mesmo gerador sempre comutam). Logo G é abeliano.
Breve reforço: o argumento é idêntico ao do caso |G|=3; sempre que o tamanho do grupo é primo, qualquer elemento não identidade tem ordem igual ao primo e gera o grupo inteiro.

Passo 6

Resumo pedagógico final (rápido e animador):
  • Para |G|=3 e |G|=5 usamos que o tamanho é primo para concluir que qualquer elemento não trivial gera o grupo; assim o grupo é cíclico e, portanto, abeliano.
  • Para |G|=4 analisamos possibilidades de ordens de elementos: se houver elemento de ordem 4 o grupo é cíclico; se não, todos os elementos não-triviais têm ordem 2 e a verificação direta mostra que a operação comuta. Em ambos os subcasos o grupo é abeliano.
  • Conclusão prática: todo grupo com 3, 4 ou 5 elementos é necessariamente abeliano.

Resposta

(a) Para |G|=3: G é abeliano.
(b) Para |G|=4: G é abeliano.
(c) Para |G|=5: G é abeliano.

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