(a) Se o grupo
tem três elementos, demonstrar que
é abeliano.
(b) Fazer a parte (a) para quatro elementos.
(c) Fazer a parte (a) para cinco elementos.
(b) Fazer a parte (a) para quatro elementos.
(c) Fazer a parte (a) para cinco elementos.
Passo 1
O enunciado pede três coisas separadas:
- (a) Mostrar que se um grupo
tem então é abeliano. - (b) Mostrar que se um grupo
tem então é abeliano. - (c) Mostrar que se um grupo
tem então é abeliano.
Informações relevantes dadas implicitamente pelo enunciado:
-
é um grupo finito (tem , ou elementos). - Queremos provar que a operação de
comuta: para todos vale . - Podemos usar propriedades básicas de grupos finitos (tais como ordens de elementos e a divisão do número de elementos por ordens de subgrupos).
Passo 2
Vamos fixar definições e resultados que usaremos, explicados de forma direta e amigável.
Definições:
- Um grupo
é abeliano se para todos tem-se . - A ordem de um elemento
, denotada , é o menor inteiro positivo tal que (onde é o elemento identidade). Se não existe tal diz-se que a ordem é infinita, mas aqui é finito. - Um grupo é cíclico se existe
tal que ; nesse caso escrevemos .
Resultado-chave (Lema útil — forma intuitiva de Lagrange):
- Se
é um subgrupo de um grupo finito , então divide .
Explicação rápida e intuitiva: os cosets à esquerda de(conjuntos do tipo ) formam uma partição de e cada coset tem exatamente elementos; assim é soma de vários blocos de tamanho , logo divide .
Consequência que usaremos: para qualquer, a ordem de divide . Em particular, divide .
Vou usar essas ideias para cada caso pequeno.
Passo 3
Parte (a): prova de que todo grupo
com
é abeliano.
Argumento passo a passo:
- Seja
um grupo com . Tome com . - Pela consequência da Lagrange,
divide . As únicas divisões possíveis são e . -
porque . Logo . - Então
tem exatamente elementos: . Como , isso força . Ou seja, é cíclico. - Todo grupo cíclico é abeliano: se
então quaisquer são potências de , digamos e . Então . - Conclusão:
é abeliano.
Breve comentário pedagógico: a ideia é simples — em grupos pequenos qualquer elemento não trivial costuma gerar o grupo inteiro quando o tamanho é primo. Gerar o grupo significa que todo mundo é potência daquele elemento, e potências comutam (pois reduzem a somas de expoentes).
Passo 4
Parte (b): prova de que todo grupo
com
é abeliano.
Vamos analisar as possibilidades para as ordens dos elementos, usando Lagrange.
- Seja
com . Para qualquer vale que divide . Assim . - Se existe
com , então tem elementos e portanto . Assim é cíclico e, como lembrado antes, qualquer grupo cíclico é abeliano. Nesse caso pronto: é abeliano. - Caso contrário, nenhum elemento tem ordem
. Então todos os elementos diferentes de têm ordem (porque as únicas possibilidades eram ou , e não podem ter ordem se não são ). Logo os três elementos não-triviais satisfazem . Esse é o caso clássico do grupo de Klein (ou é isomorfo a ele). - Mostremos que esse caso também implica comutatividade. Tome
com , . Se a comutatividade é trivial. Suponha . Observe que . Mas como temos e . Então
Por outro lado, para qualquer elemento
vale
, então em particular
. Assim invertendo ambos os lados da igualdade
obtemos
. Mas como
também tem ordem
ou
, vemos que
. Concretamente, multiplicando à direita por
ou usando a observação
para elementos de ordem
, deduz-se diretamente que
.
Uma forma ainda mais direta: calcular porque
Uma forma ainda mais direta: calcular
Mas
implica
. Assim
tem ordem
ou
. Se
, então
, contradizendo
. Logo
tem ordem
, então
. Como mostrado antes
, logo
.
5. Portanto, em ambos os subcasos (há elemento de ordem ou não) o grupo
é abeliano.
5. Portanto, em ambos os subcasos (há elemento de ordem
Comentário prático: grupos de ordem
são bem simples — ou são
(cíclico) ou são
(todos os não-identidade têm ordem
) — e ambos são abelianos.
Passo 5
Parte (c): prova de que todo grupo
com
é abeliano.
- O número
é primo. Isso facilita bastante. - Seja
com . Tome , . Pela consequência da Lagrange, divide , logo . - Como
temos . Então tem elementos e portanto . - Conclusão:
é cíclico, e todo grupo cíclico é abeliano (potências de um mesmo gerador sempre comutam). Logo é abeliano.
Breve reforço: o argumento é idêntico ao do caso
; sempre que o tamanho do grupo é primo, qualquer elemento não identidade tem ordem igual ao primo e gera o grupo inteiro.
Passo 6
Resumo pedagógico final (rápido e animador):
- Para
e usamos que o tamanho é primo para concluir que qualquer elemento não trivial gera o grupo; assim o grupo é cíclico e, portanto, abeliano. - Para
analisamos possibilidades de ordens de elementos: se houver elemento de ordem o grupo é cíclico; se não, todos os elementos não-triviais têm ordem e a verificação direta mostra que a operação comuta. Em ambos os subcasos o grupo é abeliano. - Conclusão prática: todo grupo com
, ou elementos é necessariamente abeliano.
Resposta
(a) Para
:
é abeliano.
(b) Para :
é abeliano.
(c) Para :
é abeliano.
(b) Para
(c) Para