Partindo diretamente da definição de derivada, mostre que se:
f(x)=\frac{1}{x} \Longrightarrow f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}}, \quad x \neq 0

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos usar a definição de derivada
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
para a função f(x)=\frac{1}{x}, com x\neq0.

Passo 2

Substituindo f(x+h)=\frac{1}{x+h} e f(x)=\frac{1}{x} na definição, obtemos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h}.

Passo 3

Colocando a diferença de frações sobre um único denominador:
\frac{\dfrac{1}{x+h}-\dfrac{1}{x}}{h} =\frac{\dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)}}{h} =\frac{-\,h}{x(x+h)\,h}.

Passo 4

Cancelamos h no numerador e denominador e calculamos o limite:
\lim_{h\to0}\frac{-\,h}{x(x+h)\,h} =\lim_{h\to0}\biggl(-\frac{1}{x(x+h)}\biggr) =-\frac{1}{x^{2}}.

Resposta

f^{\prime}(x)=-\frac{1}{x^{2}},\quad x\neq0.

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