Demonstrar por indução matemática que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para mostrar, usando indução matemática, que a soma
sempre é menor ou igual a
para qualquer número natural
. Vamos usar a técnica de indução matemática, que é tipo escadinha: primeiro verificamos se vale para um caso inicial, e depois mostramos que se vale para um caso qualquer, também vale para o próximo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o caso base, que geralmente é quando
. Se a desigualdade funciona para
, estamos um passo mais perto.
Para
:
Viu?
é verdade. Então, a base da indução está ok.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número natural
. Ou seja, vamos supor que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução, e é ela que vamos usar para provar que a desigualdade também funciona para
.
Passo 4
Vamos adicionar o próximo termo na soma, que é
, tanto no lado esquerdo quanto no direito da desigualdade. Assim, queremos mostrar que:
Usando a hipótese de indução, sabemos que:
Então, basta somar
dos dois lados:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a expressão:
Multiplicando ambos os lados por
(lembre que isso inverte a desigualdade):
Vamos reorganizar:
Calculando o lado esquerdo:
Então, temos que mostrar:
Multiplicando ambos os lados por
(positivo, então a desigualdade não muda):
O que é sempre verdade!
Resposta
Concluímos que, por indução matemática, para todo número natural
, a soma
é menor ou igual a
.