Demonstrar por indução matemática que:
1+14+ rac19+ldots+1n^2 <= 2-1n, forall n in N

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão pede é para mostrar, usando indução matemática, que a soma 1 + 14 + 19 + ldots + 1n^2 sempre é menor ou igual a 2 - 1n para qualquer número natural n. Vamos usar a técnica de indução matemática, que é tipo escadinha: primeiro verificamos se vale para um caso inicial, e depois mostramos que se vale para um caso qualquer, também vale para o próximo.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o caso base, que geralmente é quando n = 1. Se a desigualdade funciona para n = 1, estamos um passo mais perto.
Para n = 1:
1 = 1 <= 2 - 11 = 1
Viu? 1 <= 1 é verdade. Então, a base da indução está ok.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a desigualdade é verdadeira para algum número natural k. Ou seja, vamos supor que:
1 + 14 + 19 + ldots + 1k^2 <= 2 - 1k
Essa suposição é chamada de hipótese de indução, e é ela que vamos usar para provar que a desigualdade também funciona para k + 1.

Passo 4

Vamos adicionar o próximo termo na soma, que é 1(k+1)^2, tanto no lado esquerdo quanto no direito da desigualdade. Assim, queremos mostrar que:
1 + 14 + 19 + ldots + 1k^2 + 1(k+1)^2 <= 2 - 1k+1
Usando a hipótese de indução, sabemos que:
1 + 14 + 19 + ldots + 1k^2 <= 2 - 1k
Então, basta somar 1(k+1)^2 dos dois lados:
2 - 1k + 1(k+1)^2 <= 2 - 1k+1

Passo 5

Agora, vamos simplificar a expressão:
-1k + 1(k+1)^2 <= -1k+1
Multiplicando ambos os lados por -1 (lembre que isso inverte a desigualdade):
1k - 1(k+1)^2 >= 1k+1
Vamos reorganizar:
1k - 1k+1 >= 1(k+1)^2
Calculando o lado esquerdo:
1k - 1k+1 = (k+1) - kk(k+1) = 1k(k+1)
Então, temos que mostrar:
1k(k+1) >= 1(k+1)^2
Multiplicando ambos os lados por k(k+1)^2 (positivo, então a desigualdade não muda):
k+1 >= k
O que é sempre verdade!

Resposta

Concluímos que, por indução matemática, para todo número natural n, a soma 1 + 14 + 19 + ldots + 1n^2 é menor ou igual a 2 - 1n.

Exercícios relacionados