Demonstrar por indução matemática que:
4^n>n^4, forall n >= 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é para demonstrar, usando indução matemática, que para todo número inteiro n tal que n >= 5 , a desigualdade 4^n > n^4 é verdadeira. A matéria aqui envolve matemática discreta e provas por indução, que é uma técnica usada para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. Basicamente, é uma maneira de provar que uma afirmação é válida para todos os números naturais a partir de um certo valor inicial. O processo tem dois passos principais:
  1. Base da Indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro número da nossa sequência (neste caso, n = 5 ).
  2. Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número k >= 5 e, então, mostramos que ela também é verdadeira para k + 1 .

Passo 3

Vamos começar com a base da indução, ou seja, verificar se 4^5 > 5^4 .
Calculando:
  • 4^5 = 4 times 4 times 4 times 4 times 4 = 1024
  • 5^4 = 5 times 5 times 5 times 5 = 625
Como 1024 > 625 , a base da indução é verdadeira.

Passo 4

Agora, vamos para o passo indutivo. Suponha que para n = k , onde k >= 5 , a desigualdade 4^k > k^4 seja verdadeira. Isso é o que chamamos de hipótese de indução.
Nosso objetivo é provar que, se isso é verdade para n = k , então também é verdade para n = k + 1 , ou seja, mostrar que 4^k+1 > (k+1)^4 .

Passo 5

Vamos trabalhar com o lado esquerdo da nova desigualdade:
4^k+1 = 4 times 4^k
Pela hipótese de indução, sabemos que 4^k > k^4 . Então:
4^k+1 = 4 times 4^k > 4 times k^4
Agora, precisamos mostrar que 4 times k^4 >= (k + 1)^4 . Se conseguirmos isso, teremos 4^k+1 > (k + 1)^4 , o que é o que queremos provar.

Passo 6

Vamos comparar 4k^4 e (k + 1)^4 .
Expandindo (k + 1)^4 usando o binômio de Newton:
(k + 1)^4 = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1
Queremos mostrar que:
4k^4 >= k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1
Subtraindo k^4 de ambos os lados:
3k^4 >= 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1

Passo 7

Dividindo ambos os lados por k (como k >= 5 , não temos problema em dividir por k ):
3k^3 >= 4k^2 + 6k + 4 + 1k
Como k >= 5 , 1k é muito pequeno e podemos considerar que:
3k^3 > 4k^2 + 6k + 4
Isso é verdade porque, para k >= 5 , o termo 3k^3 cresce muito mais rápido que os outros termos do lado direito.

Passo 8

Portanto, mostramos que se 4^k > k^4 , então 4^k+1 > (k+1)^4 . Assim, por indução matemática, a desigualdade 4^n > n^4 é verdadeira para todo n >= 5 .

Resposta

Concluímos que 4^n > n^4 é verdadeiro para todo inteiro n >= 5 , comprovado por indução matemática.

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