Demonstrar por indução matemática que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é para demonstrar, usando indução matemática, que para todo número inteiro
tal que
, a desigualdade
é verdadeira. A matéria aqui envolve matemática discreta e provas por indução, que é uma técnica usada para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é indução matemática. Basicamente, é uma maneira de provar que uma afirmação é válida para todos os números naturais a partir de um certo valor inicial. O processo tem dois passos principais:
-
Base da Indução: Verificamos se a afirmação é verdadeira para o primeiro número da nossa sequência (neste caso,
). -
Passo Indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para algum número
e, então, mostramos que ela também é verdadeira para .
Passo 3
Vamos começar com a base da indução, ou seja, verificar se
.
Calculando:
Como
, a base da indução é verdadeira.
Passo 4
Agora, vamos para o passo indutivo. Suponha que para
, onde
, a desigualdade
seja verdadeira. Isso é o que chamamos de hipótese de indução.
Nosso objetivo é provar que, se isso é verdade para
, então também é verdade para
, ou seja, mostrar que
.
Passo 5
Vamos trabalhar com o lado esquerdo da nova desigualdade:
Pela hipótese de indução, sabemos que
. Então:
Agora, precisamos mostrar que
. Se conseguirmos isso, teremos
, o que é o que queremos provar.
Passo 6
Vamos comparar
e
.
Expandindo
usando o binômio de Newton:
Queremos mostrar que:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Dividindo ambos os lados por
(como
, não temos problema em dividir por
):
Como
,
é muito pequeno e podemos considerar que:
Isso é verdade porque, para
, o termo
cresce muito mais rápido que os outros termos do lado direito.
Passo 8
Portanto, mostramos que se
, então
. Assim, por indução matemática, a desigualdade
é verdadeira para todo
.
Resposta
Concluímos que
é verdadeiro para todo inteiro
, comprovado por indução matemática.