Encontre uma equação para a elipse com focos
e vértices
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem focos em
e vértices em
. Para isso, vamos usar os conceitos de elipse, vértices e focos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de uma elipse. Uma elipse é o conjunto de todos os pontos onde a soma das distâncias para dois pontos fixos chamados focos é constante. Nos vértices, essa soma atinge seu valor máximo.
Passo 3
Observando os pontos dados:
- Focos em
- Vértices em
Isso indica que a elipse está centralizada na origem e o seu eixo maior está no eixo y, já que os vértices estão na direção vertical.
Passo 4
Vamos usar a fórmula padrão da elipse com eixo maior vertical:
Aqui,
é a distância do centro aos vértices e
é a distância do centro aos pontos ao longo do eixo menor.
Passo 5
Sabemos que os vértices estão em
, então:
Já os focos estão em
, o que nos dá:
Onde
é a distância do centro aos focos.
Passo 6
Temos a relação entre
,
e
em uma elipse:
Substituindo os valores que já conhecemos:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora que temos
e
, substituímos esses valores na fórmula da elipse:
Resposta
A equação da elipse é: