Encontre uma equação para a elipse com focos (0, pm 2) e vértices (0, pm 3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre elipses! A gente precisa encontrar a equação de uma elipse que tem focos em (0, pm 2) e vértices em (0, pm 3). Para isso, vamos usar os conceitos de elipse, vértices e focos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de uma elipse. Uma elipse é o conjunto de todos os pontos onde a soma das distâncias para dois pontos fixos chamados focos é constante. Nos vértices, essa soma atinge seu valor máximo.

Passo 3

Observando os pontos dados:
  • Focos em (0, pm 2)
  • Vértices em (0, pm 3)
Isso indica que a elipse está centralizada na origem e o seu eixo maior está no eixo y, já que os vértices estão na direção vertical.

Passo 4

Vamos usar a fórmula padrão da elipse com eixo maior vertical:
x^2b^2 + y^2a^2 = 1
Aqui, a é a distância do centro aos vértices e b é a distância do centro aos pontos ao longo do eixo menor.

Passo 5

Sabemos que os vértices estão em (0, pm 3), então:
a = 3
Já os focos estão em (0, pm 2), o que nos dá:
c = 2
Onde c é a distância do centro aos focos.

Passo 6

Temos a relação entre a , b e c em uma elipse:
c^2 = a^2 - b^2
Substituindo os valores que já conhecemos:
2^2 = 3^2 - b^2
4 = 9 - b^2

Passo 7

Resolvendo para b^2 :
b^2 = 9 - 4
b^2 = 5

Passo 8

Agora que temos a^2 = 9 e b^2 = 5 , substituímos esses valores na fórmula da elipse:
x^25 + y^29 = 1

Resposta

A equação da elipse é:
x^25 + y^29 = 1

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