Demonstre que:
binomnk=n-k+1kbinomnk-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede para demonstrar a seguinte identidade combinatória:
binomnk = n - k + 1k binomnk - 1
Estamos lidando com coeficientes binomiais, que aparecem na combinatória, uma área da matemática que estuda as contagens e arranjos possíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses coeficientes binomiais e como eles se relacionam entre si.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente binomial binomnk. Ele representa o número de maneiras de escolher k elementos dentre um conjunto de n elementos, sem considerar a ordem. A fórmula para calculá-lo é:
binomnk = n!k!(n - k)!
onde n! é o fatorial de n, que é o produto de todos os inteiros de 1 até n.

Passo 3

Agora, vamos expressar binomnk e binomnk - 1 utilizando a fórmula do fatorial:
binomnk = n!k!(n - k)!
binomnk - 1 = n!(k - 1)!(n - (k - 1))! = n!(k - 1)!(n - k + 1)!

Passo 4

Nosso objetivo é relacionar binomnk com binomnk - 1. Para isso, vamos dividir binomnk por binomnk - 1:
binomnkbinomnk - 1 = n!k!(n - k)!n!(k - 1)!(n - k + 1)! = (k - 1)!(n - k + 1)!k!(n - k)!

Passo 5

Simplificando a expressão acima, percebemos que (k - 1)!k! = 1k e (n - k + 1)!(n - k)! = n - k + 1. Portanto:
binomnkbinomnk - 1 = 1k times (n - k + 1) = n - k + 1k

Passo 6

Agora, multiplicando ambos os lados da equação por binomnk - 1, temos:
binomnk = n - k + 1k binomnk - 1

Resposta

Prontinho! Demonstramos que:
binomnk = n - k + 1k binomnk - 1

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