Demonstre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me mandou pede para demonstrar a seguinte identidade combinatória:
Estamos lidando com coeficientes binomiais, que aparecem na combinatória, uma área da matemática que estuda as contagens e arranjos possíveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses coeficientes binomiais e como eles se relacionam entre si.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o coeficiente binomial
. Ele representa o número de maneiras de escolher k elementos dentre um conjunto de n elementos, sem considerar a ordem. A fórmula para calculá-lo é:
onde
é o fatorial de
, que é o produto de todos os inteiros de 1 até
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
e
utilizando a fórmula do fatorial:
Passo 4
Nosso objetivo é relacionar
com
. Para isso, vamos dividir
por
:
Passo 5
Simplificando a expressão acima, percebemos que
e
. Portanto:
Passo 6
Agora, multiplicando ambos os lados da equação por
, temos:
Resposta
Prontinho! Demonstramos que: