Sendo a / b uma fração irredutível, com a neq 0 e b neq 0, mostre que 1 / a-1 / b também é irredutível.

Passo 1

O enunciado diz que tfracab é uma fração irredutível, ou seja, gcd(a,b)=1, com aneq0 e bneq0. Queremos mostrar que
1a - 1b
também é irredutível.

Passo 2

Escrevemos a diferença sobre um único denominador:
1a - 1b = bab - aab = ,b - a,ab
Logo a fração em questão é tfracb - aab.

Passo 3

Para provar que tfracb-aab é irredutível, basta mostrar que gcd(b-a,ab)=1. Se um número primo p divide simultaneamente b-a e ab, então p divide ab e, portanto, p divide a ou p divide b.
  • Se pmid a, como também pmid(b - a), então pmid b.
  • Se pmid b, como também pmid(b - a), então pmid a.
Em ambas as situações p divide simultaneamente a e b, o que contradiz gcd(a,b)=1. Logo não existe primo p que divida ambos, e portanto gcd(b-a,ab)=1.

Resposta

A fração 1a - 1b = b-aab é irredutível.

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