1. Demonstrar as propriedades de limite para funções vetoriais vistas na aula para funções vetoriais de três variáveis F(t)=(F1(t), F2(t), F3(t)) e G(t)=(G1(t), G2(t), G3(t)).

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar as propriedades de limite para funções vetoriais de três componentes
F(t) = l(F1(t),F2(t),F3(t)r), G(t) = l(G1(t),G2(t),G3(t)r)
quando tto t0. O conteúdo é usar as propriedades de limite de funções reais em cada componente e, a partir daí, importar para o vetor em R^3.

Passo 2

Definimos
limtto t0F(t)=L=l(L1,L2,L3r) Long<=ftrightarrow limtto t0Fi(t)=Li (i=1,2,3)
De modo análogo,
limtto t0G(t)=M=l(M1,M2,M3r) Long<=ftrightarrow limtto t0Gi(t)=Mi (i=1,2,3)
Usaremos que as propriedades de soma, produto, quociente e contínuas valem para cada função real Fi,Gi.

Passo 3

Prova da soma e da diferença:
suponha limtto t0F(t)=L e limtto t0G(t)=M. Então, para cada i,
limtto t0l(Fi(t)+Gi(t)r) =Li+Mi,
pois em R vale lim(f+g)=lim f+lim g. Logo
limtto t0l(F(t)+G(t)r) =L+M
A diferença é análoga, ou observe que F-G=F+(-1),G.

Passo 4

Prova da multiplicação por escalar e do quociente:
seja cinR constante. Para cada i,
limtto t0l(c,Fi(t)r) =c,Li Longrightarrow limtto t0l(c,F(t)r) =c,L
Se limtto t0G(t)=M satisfaz Mineq 0 para todo i, então em cada componente
limtto t0Fi(t)Gi(t) =LiMi
e assim
limtto t0F(t)G(t) =l(tfracL1M1,tfracL2M2,tfracL3M3r)

Passo 5

Prova do produto interno (dot product):
lembre que
F(t)cdot G(t) =sumi=1^3Fi(t),Gi(t)
Como em R vale lim(fg)=(lim f)(lim g) e lim(f+g)=lim f+lim g, temos
limtto t0l(F(t)cdot G(t)r) =sumi=1^3Li,Mi =Lcdot M

Passo 6

Prova da norma e de qualquer função contínua de componentes:
a norma é
l|F(t)r| =raizsumi=1^3Fi(t)^2
Como a raiz quadrada e o quadrado são funções contínuas em R, temos
limtto t0l|F(t)r| =l|limtto t0F(t)r| =|L|

Resposta

As principais propriedades de limite para funções vetoriais em R^3 são:
limtto t0l(F+Gr)=L+M, limtto t0l(F-Gr)=L-M, limtto t0l(c,Fr)=c,L,
limtto t0FG =LM (se Mineq0 forall i), limtto t0l(Fcdot Gr)=Lcdot M, limtto t0|F|=|L|

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