- Demonstrar as propriedades de limite para funções vetoriais vistas na aula para funções vetoriais de três variáveis
e
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar as propriedades de limite para funções vetoriais de três componentes
quando
. O conteúdo é usar as propriedades de limite de funções reais em cada componente e, a partir daí, importar para o vetor em
.
Passo 2
Definimos
De modo análogo,
Usaremos que as propriedades de soma, produto, quociente e contínuas valem para cada função real
.
Passo 3
Prova da soma e da diferença:
suponha e
. Então, para cada
,
suponha
pois em
vale
. Logo
A diferença é análoga, ou observe que
.
Passo 4
Prova da multiplicação por escalar e do quociente:
seja constante. Para cada
,
seja
Se
satisfaz
para todo
, então em cada componente
e assim
Passo 5
Prova do produto interno (dot product):
lembre que
lembre que
Como em
vale
e
, temos
Passo 6
Prova da norma e de qualquer função contínua de componentes:
a norma é
a norma é
Como a raiz quadrada e o quadrado são funções contínuas em
R , temos
Resposta
As principais propriedades de limite para funções vetoriais em
R^3 são: