Encontre a área das superfícies.
A parte do cilindro
que está fora do cone
A parte do cilindro
Passo 1
O enunciado pede a área da parte do cilindro x²+y²=2a
y que fica fora (i.e. limitada) pelo cone z²=x²+y². O conteúdo é cálculo de área de superfície paramétrica e vamos precisar parametrizar o cilindro, escrever o elemento de área e impor o limite dado pelo cone.
y que fica fora (i.e. limitada) pelo cone z²=x²+y². O conteúdo é cálculo de área de superfície paramétrica e vamos precisar parametrizar o cilindro, escrever o elemento de área e impor o limite dado pelo cone.
Passo 2
Vamos parametrizar o cilindro como R(φ,z) = (a
cosφ,
a(1+sinφ),
z), com φ∈[0,2π] e z real. Nesse parametrização, cada geratriz é vertical e cobrimos toda a superfície cilíndrica.
cosφ,
a(1+sinφ),
z), com φ∈[0,2π] e z real. Nesse parametrização, cada geratriz é vertical e cobrimos toda a superfície cilíndrica.
Passo 3
O elemento de área é dado por |R_φ×R_z| dφ
dz. Calculamos R_φ = (−a
sinφ,
a
cosφ,0) e R_z = (0,0,1), de onde |R_φ×R_z|=a.
dz. Calculamos R_φ = (−a
sinφ,
a
cosφ,0) e R_z = (0,0,1), de onde |R_φ×R_z|=a.
Passo 4
A condição de estar dentro do cone z²=x²+y² é |z|≤√(x²+y²). Como x²+y²=2a²(1+sinφ), definimos r(φ)=√(2a²(1+sinφ)). A parte dentro do cone tem z∈[−r(φ),+r(φ)].
Passo 5
A área dessa parte é ∫₀{2π}∫_{−r(φ)}{r(φ)} a
dz
dφ = a∫₀^{2π}2r(φ)dφ = 2a∫₀^{2π} √{2a²(1+sinφ)} dφ.
dz
dφ = a∫₀^{2π}2r(φ)dφ = 2a∫₀^{2π} √{2a²(1+sinφ)} dφ.
Passo 6
Fatorando constantes, a área fica 2a · a√2 ∫₀^{2π}√{1+sinφ} dφ = 2a²√2 ·4√2 =16a².
Passo 7
Portanto, a área do pedaço do cilindro limitado pelo cone é 16a².
Resposta
16a^{2}