Demonstrar que a reta y=m x intercepta a hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1
se, e somente se, sua declividade estiver compreendida entre -ba e ba.

Passo 1

O enunciado pede para achar quando a reta ,y=mx cruza a hipérbole
x^2a^2-y^2b^2=1
ou seja, resolver o sistema e exigir que existam pontos reais de interseção. Vamos usar substituição e analisar o sinal do coeficiente resultante.

Passo 2

Substituindo ,y=mx na equação da hipérbole, obtemos
x^2a^2-(m,x)^2b^2=1
que se rearranja em
x^2l(1a^2-m^2b^2r)=1

Passo 3

Para existirem soluções reais precisamos de um x tal que
x^2=11a^2-m^2b^2
seja não negativo e finito. Isso exige que o denominador seja estritamente positivo:
1a^2-m^2b^2>0

Passo 4

Da desigualdade
1a^2>m^2b^2
segue
m^2<b^2a^2 Longrightarrow |m|<ba,
ou seja
-ba<m<ba

Resposta

A reta ,y=mx intercepta a hipérbole tfracx^2a^2-tfracy^2b^2=1 se, e somente se,
-ba<m<ba

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