Descreva geometricamente a linha de nível zero da função f: mathbbR^2 R, dada por
f(x ; y)=x^4-y^4-2 x^3+2 x y^2-3 x^2+3 y^2

Passo 1

O enunciado pede para descrever geometricamente o conjunto de pontos (x,y) tais que
f(x,y)=0
onde
f(x,y)=x^4-y^4-2,x^3+2,x,y^2-3,x^2+3,y^2
O conteúdo principal é reconhecer fatores que revelem curvas conhecidas (retas e círculos) em um conjunto de nível.

Passo 2

Vamos fatorar f. Observe que podemos agrupar termos assim:
x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2),
e
-2,x^3-3,x^2+2,x,y^2+3,y^2=-(2x+3)(x^2-y^2)
Logo,
f(x,y)=(x^2-y^2)(x^2+y^2)-(2x+3)(x^2-y^2) =(x^2-y^2)l(x^2+y^2-2x-3r)

Passo 3

Para ter f(x,y)=0, basta que um dos fatores seja zero. Assim temos dois casos:
  1. x^2-y^2=0.
  2. x^2+y^2-2x-3=0.

Passo 4

Analisando cada caso:
  • Se x^2-y^2=0, então y^2=x^2, ou seja
    y = x ou y = -x,
    que são duas retas passando pela origem.
  • Se x^2+y^2-2x-3=0, complete o quadrado em x:
    x^2-2x+1+y^2=3+1 Longrightarrow (x-1)^2+y^2=4,
    que é um círculo de centro (1,0) e raio 2.

Resposta

A linha de nível zero de f é a união das retas
y=x e y=-x
e do círculo
(x-1)^2+y^2=4

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