Demonstrar que a reta y=m x intercepta a hipérbole
y^2b^2-x^2a^2=1
se, e somente se, m>ba ou m<-ba.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a reta y = m x corta a hipérbole
y^2b^2 - x^2a^2 = 1
se, e somente se,
m > ba ou m < -ba
O conteúdo usado será geometria analítica: resolver o sistema formado pela reta e pela hipérbole, e impor a condição de existência de soluções reais.

Passo 2

Substituímos y = m x na equação da hipérbole:
(m x)^2b^2 - x^2a^2 = 1
Isso dá
x^2,l(m^2b^2 - 1a^2r) = 1

Passo 3

Isolamos x^2:
x^2 = 1 m^2b^2 - 1a^2
Para que haja interseção real, precisamos de x^2>0, ou seja, o denominador deve ser positivo:
m^2b^2 - 1a^2 > 0

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
m^2b^2 > 1a^2 Longrightarrow m^2 > b^2a^2 Longrightarrow |m| > ba,
isto é,
m > ba ou m < -ba

Resposta

A reta y = m x intercepta a hipérbole tfracy^2b^2 - tfracx^2a^2 = 1 se, e somente se,
m > ba ou m < -ba

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