Determine a equação da hipérbole que passa pelos pontos (-3,1) e (6,4), com centro na origem e reta focal igual ao eixo OX.

Passo 1

O enunciado pede a hipérbole centrada na origem com eixo transverso sobre o eixo x (reta focal no OX) que passe pelos pontos (-3,1) e (6,4). Vamos usar a forma padrão da hipérbole e impor que ela satisfaça esses pontos.

Passo 2

A forma padrão da hipérbole com eixo transverso em x é
x^2a^2 ;-;y^2b^2 ;=;1,
onde a>0 e b>0 são constantes a determinar.

Passo 3

Como a hipérbole passa por (-3,1), temos
(-3)^2a^2 ;-;1^2b^2 ;=;1
ou seja
9a^2 ;-;1b^2 ;=;1
Como ela também passa por (6,4), obtemos
6^2a^2 ;-;4^2b^2 ;=;1
isto é
36a^2 ;-;16b^2 ;=;1

Passo 4

Definindo u = 1/a^2 e v = 1/b^2, o sistema fica
9u ;-;v = 1,
36u ;-;16v = 1
Da primeira equação v = 9u - 1. Substituindo na segunda:
36u ;-;16(9u - 1) = 1 Longrightarrow 36u - 144u + 16 = 1 Longrightarrow -108u = -15
Longrightarrow u = 15108 = 536, v = 9cdot536 - 1 = 4536 - 1 = 936 = 14
Logo
a^2 = 1u = 365, b^2 = 1v = 4

Passo 5

Substituindo a^2 e b^2 na forma padrão, a hipérbole é
x^236/5 ;-;y^24 ;=;1
Multiplicando ambos os lados por 36 obtemos a forma mais simples
5x^2 ;-;9y^2 ;=;36

Resposta

A equação da hipérbole é
5x^2 - 9y^2 = 36

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