Seguir os seguintes passos para construir uma Elipse, no plano, com o Geogebra:
  • Escolha dois pontos F1 e F2;
  • trace a semirreta de origem F1 passando por F2;
  • trace um círculo C de centro F1 contendo F2 no seu interior;
  • escolha um ponto D no círculo;
  • trace os segmentos D F1 e D F2;
  • trace a mediatriz do segmento D F2; e seja P o ponto onde ela intersecta o segmento D F1;
  • mostre que o ponto P pertence à elipse E de focos F1 e F2. com 2 a=d(F1, D).

Passo 1

O enunciado descreve a construção de um ponto P a partir de dois focos F1 e F2 e de um ponto D do círculo de centro F1, de modo que 2a = d(F1,D). O ponto P é a interseção entre o segmento DF1 e a mediatriz do segmento DF2. Precisamos mostrar que
d(P,F1) + d(P,F2) = 2a,
o que prova que P pertence à elipse E de focos F1,F2 e semieixo maior a.

Passo 2

Como P está na mediatriz de DF2, ele é equidistante de D e de F2. Portanto,
d(P,D) ;=; d(P,F2)

Passo 3

Como P também está sobre o segmento DF1, os pontos D,P,F1 são colineares e P fica entre D e F1. Logo, ao percorrermos de F1 até D passando por P, temos
d(P,F1) + d(P,D) ;=; d(D,F1)

Passo 4

Substituindo d(P,D)=d(P,F2) na relação do passo anterior, obtém-se
d(P,F1) + d(P,F2) ;=; d(D,F1)
Pela construção, d(D,F1)=2a. Assim
d(P,F1) + d(P,F2) = 2a,
que é justamente a condição de definição da elipse E.

Resposta

O ponto P satisfaz
d(P,F1) + d(P,F2) = 2a,
logo Pin E.

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