Exercício 2. Prove que todo número real
tem quadrado positivo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que em um corpo ordenado, especificamente ,R, todo número real diferente de zero tem quadrado positivo. O conteúdo é a definição de corpo ordenado e a propriedade de que o produto de dois números positivos é positivo.
Passo 2
Em um corpo ordenado, dizemos que um número real
é positivo se
. Pela definição de ordenação, se
e
, então
.
Passo 3
Agora, considere um
tal que
. Há dois casos: ou
ou
(lei do tricotômio em corpo ordenado).
Passo 4
Se
, então aplicando a propriedade do produto de positivos, temos
. Ou seja,
.
Passo 5
Se
, então
. Novamente, multiplicando positivos,
. Mas
. Logo,
.
Passo 6
Nos dois casos chegamos a
, o que prova que para todo
em
vale
.
Resposta
Para qualquer
não nulo, seja ele positivo ou negativo, seu quadrado é positivo, ou seja,
.