Exercício 2. Prove que todo número real x neq 0 tem quadrado positivo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que em um corpo ordenado, especificamente ,R, todo número real diferente de zero tem quadrado positivo. O conteúdo é a definição de corpo ordenado e a propriedade de que o produto de dois números positivos é positivo.

Passo 2

Em um corpo ordenado, dizemos que um número real x é positivo se x>0. Pela definição de ordenação, se a>0 e b>0, então acdot b>0.

Passo 3

Agora, considere um xin R tal que xneq 0. Há dois casos: ou x>0 ou x<0 (lei do tricotômio em corpo ordenado).

Passo 4

Se x>0, então aplicando a propriedade do produto de positivos, temos xcdot x>0. Ou seja, x^2>0.

Passo 5

Se x<0, então -x>0. Novamente, multiplicando positivos, (-x)cdot(-x)>0. Mas (-x)cdot(-x)=x^2. Logo, x^2>0.

Passo 6

Nos dois casos chegamos a x^2>0, o que prova que para todo xneq0 em R vale x^2>0.

Resposta

Para qualquer xinR não nulo, seja ele positivo ou negativo, seu quadrado é positivo, ou seja, x^2>0.

Exercícios relacionados