Seja T uma transformação linear dada por [T]=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 3 \\\\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]. É correto afirmar que:
(a) T é injetora e sobrejetora.
(b) T é injetora e não é sobrejetora.
(c) T não é injetora e é sobrejetora.
(d) T não é injetora e não é sobrejetora.

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear T\colon \mathbb R^3\to\mathbb R^2 cuja matriz em relação às bases canônicas é
[T]=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 3\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Precisamos determinar se T é injetora (kernel trivial) e se é sobrejetora (imagem igual a \mathbb R^2).

Passo 2

Calcular o posto de [T]. Observando as linhas, a primeira linha (-1\;0\;3) e a segunda linha (0\;1\;0) são linearmente independentes, então
\operatorname{rank}(T)=2.

Passo 3

Pela Teorema do Núcleo e Imagem (rank–nullity), como \dim(\mathbb R^3)=3 e \operatorname{rank}(T)=2, temos
\dim(\ker T)=3-2=1>0,
logo \ker T\neq\{0\} e T não é injetora. Como \operatorname{rank}(T)=2=\dim(\mathbb R^2), a imagem de T é todo \mathbb R^2, ou seja, T é sobrejetora.

Resposta

(c)

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