Demonstre
(cos alpha-cos beta)^2+(sen alpha-sen beta)^2=4 sen^2 alpha-beta2

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica
(cos alpha - cos beta)^2 + (sen alpha - sen beta)^2 =4,sen^2alpha-beta2
O conteúdo principal é usar as fórmulas de soma–produto para as diferenças cosalpha-cosbeta e senalpha-senbeta, e em seguida aplicar a identidade pitagórica sin^2x+cos^2x=1.

Passo 2

Usamos as fórmulas de soma–produto para escrever as diferenças em produtos:
cos alpha - cos beta = -2,sinalpha+beta2,sinalpha-beta2,
sen alpha - sen beta =2,cosalpha+beta2,sinalpha-beta2

Passo 3

Agora elevamos cada expressão ao quadrado:
(cos alpha - cos beta)^2 =4,sin^2alpha+beta2,sin^2alpha-beta2,
(sen alpha - sen beta)^2 =4,cos^2alpha+beta2,sin^2alpha-beta2

Passo 4

Somamos os dois resultados:
(cos alpha - cos beta)^2+(sen alpha - sen beta)^2 =4,sin^2alpha-beta2 l(sin^2alpha+beta2+cos^2alpha+beta2r)
Pela identidade pitagórica sin^2x+cos^2x=1, o fator entre parênteses vale 1. Logo
(cos alpha - cos beta)^2+(sen alpha - sen beta)^2 =4,sin^2alpha-beta2

Resposta

(cos alpha - cos beta)^2 + (sen alpha - sen beta)^2 =4,sen^2alpha-beta2

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