Demonstre que:
(n-1)![(n+1)!-n!]=(n!)^2

Passo 1

Oi! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. A questão pede para demonstrar que:
(n-1)![(n+1)! - n!] = (n!)^2
Isso está relacionado ao estudo de fatorial, que é uma operação matemática representada por “!” e envolve multiplicar um número inteiro positivo por todos os inteiros positivos menores que ele. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões fatoriais e simplificar as equações passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa n!. O fatorial de n (escrito como n!) é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até n:
n! = n times (n-1) times (n-2) times ldots times 2 times 1
Então, o que seria (n+1)!? Simplesmente, é:
(n+1)! = (n+1) times n!
Essa relação vai nos ajudar a simplificar a expressão que temos que demonstrar.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a expressão dentro dos colchetes na equação original:
(n+1)! - n!
Usando a relação que acabamos de ver, substituímos (n+1)!:
(n+1)! - n! = (n+1) times n! - n! = n! times [(n+1) - 1] = n! times n
Então, simplificamos para:
(n+1)! - n! = n times n!

Passo 4

Agora, vamos voltar à expressão completa que queremos demonstrar:
(n-1)! times [(n+1)! - n!]
Substituímos o que encontramos no Passo 3:
(n-1)! times (n times n!) = n times n! times (n-1)!

Passo 5

Sabemos que n! = n times (n-1)!. Vamos usar isso para substituir n! na equação:
n times n! times (n-1)! = n times [n times (n-1)!] times (n-1)! = n times n times (n-1)! times (n-1)!
Isso simplifica para:
n^2 times [(n-1)!]^2
Mas, observando novamente, n! = n times (n-1)!, então:
(n!)^2 = [n times (n-1)!]^2 = n^2 times [(n-1)!]^2

Resposta

Portanto, demonstramos que:
(n-1)![(n+1)! - n!] = (n!)^2

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