Demonstre que:
Passo 1
Oi! Vamos dar uma olhada nesse exercício juntos. A questão pede para demonstrar que:
Isso está relacionado ao estudo de fatorial, que é uma operação matemática representada por “!” e envolve multiplicar um número inteiro positivo por todos os inteiros positivos menores que ele. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões fatoriais e simplificar as equações passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa
. O fatorial de
(escrito como
) é o produto de todos os números inteiros positivos de 1 até
:
Então, o que seria
? Simplesmente, é:
Essa relação vai nos ajudar a simplificar a expressão que temos que demonstrar.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a expressão dentro dos colchetes na equação original:
Usando a relação que acabamos de ver, substituímos
:
Então, simplificamos para:
Passo 4
Agora, vamos voltar à expressão completa que queremos demonstrar:
Substituímos o que encontramos no Passo 3:
Passo 5
Sabemos que
. Vamos usar isso para substituir
na equação:
Isso simplifica para:
Mas, observando novamente,
, então:
Resposta
Portanto, demonstramos que: